Здавалка
Главная | Обратная связь

Способы вычисления поверхностного интеграла первого рода



Имеется формула перехода от поверхностного интеграла первого рода к двойному:

Эта формула справедлива, если проекция поверхности на плоскость однозначна, то есть любая прямая, параллельная оси либо не пересекает поверхность , либо пересекает её только в одной точке. Другими словами поверхность может быть задана формулой . Здесь – проекция поверхности на плоскость .

В случае, когда поверхность однозначно проецируется на плоскости или , то есть поверхность может быть задана формулами: или , то формулы перехода от поверхностного интеграла первого рода к двойному аналогичны:

Примеры

Пример 1

Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности : , где – это часть плоскости, расположенная в первом октанте и заданная уравнением: .

Изобразим поверхность.

Проекция данной поверхности на плоскость есть ,

где уравнение есть или .

Выразим из уравнения поверхности переменную , получаем: . Отсюда: , .

Перейдём от поверхностного интеграла первого рода к двойному:

.

Ответ: .

Пример 2

Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности : , где задана уравнением: .

Данная поверхность представляет собой сферу радиуса 1. Проекция на плоскость неоднозначна, так как любая прямая, параллельная оси , либо не пересекает поверхность , либо пересекает в двух точках. Следовательно, нельзя сразу воспользоваться формулой перехода от поверхностного интеграла первого рода к двойному. Поэтому представим поверхность в виде объединения двух полусфер, одна из которых расположена выше плоскости , а другая, соответственно, ниже. Другими словами: , где:

Плоскость – это граница, их разделяющая. По свойству (3): .

Поверхности и однозначно проецируются на плоскость , и их проекция является кругом радиуса 1, то есть задаётся неравенством: .

 

Следовательно:

.

 

Аналогично распишем второй интеграл.

 

Следовательно:

.

 

Следовательно:

Ответ: 0.

Пример 3

Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности :

, где часть цилиндра , заключённая между плоскостями и .

Данная поверхность представляет собой цилиндр, образующие которого параллельны оси . Проектировать её на координатную плоскость нельзя, так как нельзя вообще выразить переменную . Следовательно мы не сможем вычислить производные и . Проектировать эту поверхность в данном случае надо на координатную плоскость , так как у нас уже выражена переменная , причём однозначным образом.

; . Отсюда: .

Проекция на координатную плоскость представляет собой прямоугольник

Следовательно, преобразуя поверхностный интеграл в двойной, получаем:

.

Ответ: 4.

Пример 4

Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности : , где часть цилиндра , заключённая между плоскостями и .

Данная поверхность представляет собой цилиндр, образующие которого параллельны оси . Здесь также нельзя проектировать её на координатную плоскость , так как тоже нельзя выразить переменную , и невозможно вычислить производные и . В этом случае лучше всего спроектировать на координатную плоскость , так как в этом случае можно выразить переменную , хотя и неоднозначно: . Следовательно, данный интеграл разбивается на 2 интеграла: . – это интеграл по поверхности, расположенной слева от координатной плоскости . В этом случае уравнение поверхности имеет вид: . – это интеграл по поверхности, расположенной справа от координатной плоскости . В этом случае уравнение поверхности имеет вид: . Проекция на координатную плоскость представляет собой прямоугольник

Если , то: . Значит, в обеих случаях: .

Отсюда:

.

Следовательно:

Ответ:

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.