Способы вычисления поверхностного интеграла первого рода
Имеется формула перехода от поверхностного интеграла первого рода к двойному: Эта формула справедлива, если проекция поверхности на плоскость однозначна, то есть любая прямая, параллельная оси либо не пересекает поверхность , либо пересекает её только в одной точке. Другими словами поверхность может быть задана формулой . Здесь – проекция поверхности на плоскость . В случае, когда поверхность однозначно проецируется на плоскости или , то есть поверхность может быть задана формулами: или , то формулы перехода от поверхностного интеграла первого рода к двойному аналогичны: Примеры Пример 1 Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности : , где – это часть плоскости, расположенная в первом октанте и заданная уравнением: . Изобразим поверхность. Проекция данной поверхности на плоскость есть , где уравнение есть или . Выразим из уравнения поверхности переменную , получаем: . Отсюда: , . Перейдём от поверхностного интеграла первого рода к двойному:
. Ответ: . Пример 2 Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности : , где задана уравнением: . Данная поверхность представляет собой сферу радиуса 1. Проекция на плоскость неоднозначна, так как любая прямая, параллельная оси , либо не пересекает поверхность , либо пересекает в двух точках. Следовательно, нельзя сразу воспользоваться формулой перехода от поверхностного интеграла первого рода к двойному. Поэтому представим поверхность в виде объединения двух полусфер, одна из которых расположена выше плоскости , а другая, соответственно, ниже. Другими словами: , где:
Плоскость – это граница, их разделяющая. По свойству (3): . Поверхности и однозначно проецируются на плоскость , и их проекция является кругом радиуса 1, то есть задаётся неравенством: .
Следовательно:
.
Аналогично распишем второй интеграл.
Следовательно:
.
Следовательно: Ответ: 0. Пример 3 Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности : , где часть цилиндра , заключённая между плоскостями и . Данная поверхность представляет собой цилиндр, образующие которого параллельны оси . Проектировать её на координатную плоскость нельзя, так как нельзя вообще выразить переменную . Следовательно мы не сможем вычислить производные и . Проектировать эту поверхность в данном случае надо на координатную плоскость , так как у нас уже выражена переменная , причём однозначным образом. ; . Отсюда: . Проекция на координатную плоскость представляет собой прямоугольник Следовательно, преобразуя поверхностный интеграл в двойной, получаем: . Ответ: 4. Пример 4 Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности : , где часть цилиндра , заключённая между плоскостями и . Данная поверхность представляет собой цилиндр, образующие которого параллельны оси . Здесь также нельзя проектировать её на координатную плоскость , так как тоже нельзя выразить переменную , и невозможно вычислить производные и . В этом случае лучше всего спроектировать на координатную плоскость , так как в этом случае можно выразить переменную , хотя и неоднозначно: . Следовательно, данный интеграл разбивается на 2 интеграла: . – это интеграл по поверхности, расположенной слева от координатной плоскости . В этом случае уравнение поверхности имеет вид: . – это интеграл по поверхности, расположенной справа от координатной плоскости . В этом случае уравнение поверхности имеет вид: . Проекция на координатную плоскость представляет собой прямоугольник Если , то: . Значит, в обеих случаях: . Отсюда: . Следовательно: Ответ:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|