 |
|
Формула Гаусса – Остроградского
Пусть функции 
, 
, 
и их частные производные первого порядка непрерывны в области 
, которая ограничена поверхностью 
, тогда справедлива формула Гаусса – Остроградского перехода от поверхностного интеграла второго рода к тройному интегралу: 
.
Этой формулой надо пользоваться в случае, когда получившийся тройной интеграл легче исходного поверхностного интеграла второго рода.
Пример
Вычислим поверхностный интеграл второго рода из предыдущего задания с помощью формулы Гаусса – Остроградского.
.
Ответ: 
.
Вычислить поверхностный интеграл второго рода: 
, где – часть цилиндра, заданная уравнением 
, заключённая между плоскостями 
и 
.
По формуле Гаусса – Остроградского имеем:
.
Ответ: 
.
Формула Стокса
Пусть 
– замкнутый контур, который ограничивает незамкнутую поверхность , а функции , , и их частные производные первого порядка непрерывны на поверхности , тогда справедлива формула Стокса перехода от криволинейного интеграла первого рода к поверхностному интегралу второго рода: 
.
Здесь положительная сторона поверхности определяется по правилу: с положительной стороны поверхности , по которой ведётся интегрирование, обход контура должен быть направлен против часовой стрелки, то есть при обходе контура по стороне интегрирования поверхности , прилежащая к нему часть поверхности должна быть расположена слева.
Ей надо пользоваться в случае, когда получившийся поверхностный интеграл второго рода легче исходного криволинейного интеграла второго рода.
Пример
Вычислить криволинейный интеграл второго рода:
,
где 
– контур 
с вершинами 
, 
, 
.
.
В данном случае поверхность задаётся уравнением: 
. Отсюда: 
. В качестве 
следует взять: 
. Из этого следует, что: 
. В итоге интеграл преобразуется:
.
Ответ: 
Теоретические вопросы
1. Что называется гладкой поверхностью?
2. Что называется диаметром произвольной геометрической фигуры?
3. Что называется интегральной суммой Дарбу?
4. Что называется поверхностным интегралом первого рода?
5. Каковы свойства поверхностного интеграла первого рода?
6. Запишите формулу перехода от поверхностного интеграла первого рода к двойному.
7. Что делать в случае, когда поверхность, по которой ведётся интегрирование неоднозначно проецируется на координатную плоскость?
8. Что называется поверхностным интегралом второго рода?
9. Каковы свойства поверхностного интеграла второго рода?
10. Как вычисляется поверхностный интеграл второго рода?
11. Запишите формулу Остроградского-Гаусса. В каких случаях она применима?
12. Запишите формулу Стокса. В каких случаях она применима?