Главная | Обратная связь

Область определения. График. Линии уровня

Понятие функции двух переменных.

Определение. Если каждой паре значений независимых переменных (х,у), взятых из некоторой области изменения, по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение третьей переменной z, то z называется функцией двух переменных х и у:

z = f (x,y)

Например: z =ln ( .

Переменные х и у называются аргументами функции z. Область D – область определения функции z. Каждой паре чисел (х,у) на плоскости Оху можно поставить в соответствие точку М (х,у). Тогда функцию двух переменных можно понимать как функцию точки на плоскости Оху. Каждой точке из некоторого множества точек плоскости Оху ставится в соответ- ствие определенное значение переменной z: z =f (М). Плоскость Оху - плоскость аргументов для функции двух переменных . Область определения функции двух переменных – некоторая область плоскости Оху .

 

 

у

у

х0

х0

М0

х0+Dх

у0

х

ух

у0+Dу

у0+Dу

·Р(х,у)М0

M1

	D

0

Рис.1. Рис. 2.

Определение. d- окрестностью точки M₀(х₀,у₀) называется внутренняя часть круга радиуса d. с центром в точке M₀(рис.1) d (M₀Р) < d. или < d..

Точка М₁называется внутренней точкой множества D, если у этой точки есть окрестность, состоящая из точек данного множества.

Точка М₂ называется граничной точкой множества D, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие множеству D, так и точки ему не принадлежащие (рис.2).

Сама граничная точка может принадлежать множеству D, а может и не принадлежать.

Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей.

Множество D называется замкнутым ( ), если оно содержит все свои граничные точки. Множество D называется открытым , если все его точки являются внутренними.

Пример1. (замкнутый круг)

Пример2. (открытый круг).

Здесь точки окружности (границы) множеству D не принадлежат.

Множество D точек плоскости Оху называется областью, если: 1. D – открытое множество т.е. состоит только из внутренних точек.

2.Всякие две точки М₁ и М₂ÎD можно

соединить непрерывной линией, все

точки которой также принадлежат D (свойство связанности).

Рис. 3.

Открытая область является аналогом интервала (а,b) на прямой. Замкнутая область - аналог отрезка [a,b] Найдем области определения функций.

Пример1. ; .

Замкнутый круг (рис.4, а) - аналог отрезка [a,b].

Пример2. ;

Открытый круг (рис.4, б) - аналог интервала (a,b).

 

Рис. 4.

 

Пример3. ;

Кольцо (рис. 4, в) - аналог полуинтервала (a,b].

 

Для функции y= f (x) графиком является кривая на плоскости Оху. Функция двух переменных также допускает непосредственное геометрическое истолкование. Возьмем пространственную декартову систему координат. Функция

z = f(x,у) определена в области D плоскости аргументов Оху . Выберем в области D произвольную точку М₁ (х₁,у₁) и вычислим соответствующее значение функции z₁ = f (х₁,у₁).

y1

y

Z= f (x,y)

· P (x1,y1,z1)

Z= f (x,y)

· P (x1,y1,z1)

z

Тройку чисел (х₁,у₁, z₁) изобразим точкой Р₁(х₁,у₁, z₁ ) в координатном пространстве Охуz. Если точку М₁(х₁,у₁) перемещать в области определения D функции z, точка Р₁ опишет некоторую поверхность с уравнением

y

y

z = f (х,у).

x1

x1

M1

x

M1

x

Эта поверхность и служит геометрическим образом функции двух переменных, ее графиком.

Рис.5.

Пример 1. , D: ; . (верхняя полусфера)

 

Пример 2. D – вся плоскость Оху.

График функции z = f (х,у) проектируется в область определения функции D.

Часто вместо графика функции практически более удобным является другой способ представления функции двух переменных – линии уровня.

Множество точек на плоскости Оху, в которых функция z = f (х,у)сохраняет постоянное значение h:

f (х,у)=h называется линией Рис.6.

уровня функции.

Пример . Для функции линиями уровня являются окружности с центром в начале координат:

.

В каждой точке линии уровня значения функции постоянны и равны h. Выбираем разные h , получим разные линии уровня. Геометрически линии уровня получаются, если пересекать поверхность z = f(х,у) плоскостями, параллельными плоскости Оху : z = h и проектировать линии пересечения на плоскость Оху (рис.6). В результате в области определения D получаетсясвоеобразная ”геодезическая карта” поверхности z = f (х,у), которая дает представление об изменении функции f (х,у). В той части области D , где линии уровня сгущаются, функция z быстро возрастает или убывает. Там, где линии уровня разрежены, f (х,у) изменяется медленно. В точках экстремума функции

z = f (х,у )линии уровня вырождаются в точку.