 |
|
Метод частных производных
Приращение функции всегда можно выразить через приращение аргумента, используя определение частной производной. Частной производной функции 
называют производную этой функции по соответствующему аргументу, когда остальные аргументы считаются фиксированными. В данном случае под функцией понимается рассчитываемая величина А, а под независимыми переменными - измеряемые величины a, b, c. Тогда, ограничиваясь членами первого порядка малости, выражение (10) можно переписать так:
; 
; 
. (11)
Отметим, что производные 
, 
, 
рассчитываются при средних значениях 
.
Полная погрешность DА получается путем подстановки выражений (11) в формулу (9):
. (12)
Этот метод расчета применяется, если выражения производных значительно проще, чем сама функция (например, если расчетная формула представляет сумму слагаемых, являющихся громоздкими выражениями).
Пример
Лабораторная работа “Определение ускорения свободного падения методом катающегося шарика”
Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид:
.
Измеряемыми величинами являются время t числа N колебаний, высота h сферического сегмента, измеренная сферометром, расстояние l между ножками сферометра и диаметр шарика d, измеренный штангенциркулем или микрометром. Погрешности в измерении расстояния l и диаметра d определяются погрешностями средств измерения. Dl = Dlси и Dd = Ddси. Время колебаний шарика t и высота h имеют статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находятся средние значения 
и 
, а также их случайные погрешности Dtсл и Dhсл Как правило, 
и 
, поэтому полные погрешности прямых измерений определяются случайными погрешностями: 
и 
.
После обработки результатов прямых измерений рассчитывается наилучшее значение ускорения свободного падения; для этого в расчетную формулу подставляются средние значения времени и высоты:
.
Абсолютная погрешность в определении ускорения свободного падения рассчитывается по формуле
,
в которой вклады в полную погрешность находятся через частные производные:
,
,
,
.