Главная | Обратная связь

Методические указания

МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИРОДЫ, ОБЩЕСТВА И ЧЕЛОВЕКА «ДУБНА»

КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

 

 

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

 

Методические указания

 

Разработал: д.т.н. Гребенкин М.Ф.

 

Дмитров 2001

Принято разделять погрешности на систематические, случайные и промахи.

 

I. Элементы теории случайных ошибок.

 

I.1. Прямые измерения.

 

Пусть в результате измерений получены значения измеряемой величины: , , , , , .

Среднее арифметическое .

Абсолютная ошибка данного измерения определяется как разность ;

Так как точное значение величины измерить принципиально невозможно, то результат измерений записывают в виде .

Истинное значение находится в интервале от до .

При этом указывают, с какой вероятностью измеряемая величина должна быть заключена в указанном выше интервале (его называют также «доверительный интервал»). Значения , и связаны формулой Стьюдента:

, (1)

где – критерий Стьюдента, зависящий от и . Его значения даны в таблице.

 

	63,66	12,71	6,31
	9,93	4,30	2,92
	5,84	3,18	2,35
	4,60	2,78	2,13
	4,03	2,57	2,02
	3,70	2,45	1,94
	3,50	2,37	1,90
	3,36	2,30	1,86
	3,25	2,26	1,83

 

Относительной ошибкой значение некоторой величины называется отношение . Часто она выражается в процентах.

При однократном измерении или когда в результате измерений получается ряд совершенно одинаковых значений измеряемой величины, значения предельной абсолютной ошибки определяются классом точности прибора или наименьшим делением его шкалы.

Класс точности прибора (указывается на приборе) – выраженная в процентах номинальная относительная ошибка прибора (возможная погрешность измерения составляет от предельного значения шкалы прибора).

Пример: ; шкала прибора рассчитана на 300 .

Если класс точности прибора не указан, то за предельную абсолютную среднюю погрешность принимается половина цены наименьшего деления шкалы прибора.

Если вычисленная по формуле Стьюдента меньше той, которую дает прибор (определяемой по классу точности или по цене деления шкалы), то в качестве выбирается собственная погрешность прибора, т.е. бóльшая ошибка.

Таким образом при прямых измерениях для обработки результатов следует:

Ø Результаты измерений , , , записать в таблицу;

Ø Вычислить среднее арифметическое ;

Ø Вычислить абсолютную погрешность каждого измерения;

Ø Вычислить для всех измерений;

Ø Вычислить по формуле Стьюдента, предварительно выбрав «доверительный интервал» ( );

Ø Записать результат в виде: ;

Ø Вычислить относительную ошибку измерения ; выразить ее в процентах.

 

I.2. Косвенные измерения.

 

Если интересующая нас величина непосредственно в опытах не измеряется и для ее определения надо провести измерения нескольких других величин , , , , связанных с величиной определенным математическим соотношением, то такие измерения называют косвенными, и погрешность в определении величины естественно зависят от погрешностей измерений .

В этом случае, как правило, вычисляют относительную ошибку по формуле:

, (2)

т.е. для нахождения максимальной относительной ошибки косвенного измерения логарифмируют , затем дифференцируют ее по , заменяют на , причем складывают модули полученных частных производных.

Затем находят абсолютную ошибку из соотношения:

, где

Пример 1.

;

(значение числа нужно взять с необходимой точностью).

Пример 2.

(!); .

Обратите внимание, что если в формуле для расчета есть сумма или разность. То сначала необходимо оценить ошибку этой суммы или разности, как сумму абсолютных ошибок членов, входящих в сумму или разность, а затем найти соответствующую относительную ошибку.

 

II. Метод наименьших квадратов.

 

Если экспериментальная зависимость может быть представлена прямой линией, то минимальная ошибка в ее проведении будет допущена, если сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от этой единственной зависимости будет наименьшей.

Уравнение прямой линии .

Условие минимальной ошибки .

Условие : и .

Это дает систему из двух уравнений для нахождения и :

,

,

где – число экспериментальных точек. По найденным значениям и строится прямая .

Пример.

Температурная зависимость сопротивления полупроводника дается формулой: , где – ширина запрещенной зоны.

После логарифмирования имеем: .

Если принять за ; за ; за и за , то получится прямая линия , провести которую наилучшим способом можно, используя метод наименьших квадратов. По наклону прямой ( ) можно определить ширину запрещенной зоны полупроводника.