пара параллельных плоскостей пара сливающихся плоскостей
ПП 7.5. Поверхности второго порядка
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Эллипсоид
Гиперболоиды
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Конус
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Цилиндры
Эллиптический
гиперболический , параболический
.
Пары плоскостей
Пара пересекающихся плоскостей
пара параллельных плоскостей пара сливающихся плоскостей
ПП 7.5. Поверхности второго порядка
| ПП 7.5.
№1.
| Установите тип поверхности, заданной уравнением
Решение:
Перенесем константу в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на число 4. Получим
Это уравнение задает двуполостный гиперболоид вращения с осью OY.
| Дву-полостный гиперболоид
| ПП 7.5.
№2.
| Установите тип поверхности, заданной уравнением
Решение:
Преобразуем уравнение к виду
являющемуся канонической формой уравнения параболоида вращения с осью OZ, вершина которого находится в точке (0;0;2), а выпуклость обращена вверх.
| Параболоид
| ПП 7.5.
№3.
| Установите тип указанной поверхности и постройте ее:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
| 1) параболоид вращения;
2) ось oz;
3) две пересекаю-щиеся плоскости ;
4) две плоскости , параллельные плоскости zoy;
5) круговой цилиндр с образующей, параллельной оси oy.
| ПП 7.5.
№4.
| Составьте уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида
плоскостью
Решение:
Сечение параболоида плоскостью задается системой уравнений
Этой системе соответствует некоторая линия в пространстве. Чтобы найти проекцию этой линии на координатную плоскость OXY, следует исключить из этой системы переменную z. В результате получаем Аналогично находятся остальные проекции.
На плоскость OXY: ; На плоскость OXZ: ; На плоскость OYZ: .
|
| ПП 7.5.
№5.
| Составьте уравнение поверхности, образованной вращением кривой
вокруг оси OX.
Решение:
Сечение искомой поверхности плоскостью перпендикулярной оси вращения, есть окружность с центром в точке радиусом Уравнение этой окружности Для произвольного получаем уравнение поверхности вращения
|
| ПП 7.5.
№6.
| Найдите общие точки поверхности и прямой
Решение:
Выделим полные квадраты переменных в уравнении поверхности и увидим,
что она представляет собой сферу .
Перейдем к параметрическим уравнениям прямой
Подстановка этих значений переменных в уравнение поверхности приводит к квадратному уравнению для t c отрицательным дискриминантом. Следовательно, действительных значений t не существует, и поверхность не имеет общих точек с прямой, которая проходит вне сферы.
| Нет
| ПП 7.5.
№7.
| Найдите общие точки поверхности и плоскости .
Решение:
Общие точки поверхностей удовлетворяют системе
Приравнивая значения 2z , выраженные из этих уравнений, получим, что . Выделение полных квадратов переменных приводит к уравнению эллипса , который является линией пересечения эллиптического параболоида и плоскости.
|
| ПП 7.5.
№8.
| Составьте уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору а направляющая задана уравнениями
Решение:
Множество точек искомой поверхности образовано точками, лежащими на прямых, проходящих через некоторую точку направляющей параллельно вектору Составим канонические уравнения этих прямых: Здесь M(x;y;z) - произвольная точка прямой, а N(X;Y;1) – фиксированная точка направляющей, через которую проходит прямая, называемая образующей. Отсюда
Подставим эти выражения в уравнение , которому удовлетворяют координаты точек направляющей и получим искомое уравнение цилиндрической поверхности:
|
| ПП 7.5.
№9.
| Составьте уравнение конуса с вершиной в точке S(0;0;5) и направляющей
Решение:
Множество точек искомой поверхности образовано точками, лежащими на прямых, проходящих через некоторую точку направляющей и точку S. Составим канонические уравнения этих прямых Здесь M(x;y;z) - произвольная точка прямой, а N(X;Y;0) – фиксированная точка направляющей, через которую проходит прямая, называемая образующей. Отсюда Подставим эти выражения в уравнение , которому удовлетворяют координаты точек направляющей, и получим искомое уравнение конической поверхности:
|
| ПП 7.5.
№10.
| Найдите общие точки поверхности и плоскости .
Решение:
Общие точки поверхностей удовлетворяют системе
Приравнивая значения 2z , выраженные из этих уравнений, получим, что . Выделение полных квадратов переменных приводит к уравнению эллипса , который является линией пересечения эллиптического параболоида и плоскости.
|
| ПП 7.5.
№11.
| Составьте уравнение сферы с центром в точке (3,-5,-2), если плоскость касается сферы.
Решение:
Расстояние от центра сферы до касательной плоскости равно радиусу сферы:
Уравнение сферы: .
|
| ПП 7.5.
№12.
| Составьте уравнение сферы, проходящей через точки , , , центр которой лежит на плоскости .
Решение:
Запишем уравнение сферы в виде и подставим в него координаты точек; кроме того, учтем, что центр сферы лежит на плоскости:
Раскрывая скобки, получаем
Вычитая из третьего уравнения второе и из второго первое, для координат центра сферы получаем равносильную систему
откуда и . Уравнение сферы .
|
| ПП 7.5.
№13.
| Методом сечений исследуйте поверхность, заданную уравнением
.
Решение:
Перепишем уравнение поверхности в виде
и рассмотрим сечения поверхности плоскостями . В сечении получаются окружности с центром на оси и радиусом . Это позволяет заключить, что поверхность является поверхностью вращения с осью , и точки поверхности существуют при любых значениях . Рассмотрим осевое сечение плоскостью (или ):
.
Приводя к каноническому виду, имеем
– уравнение гиперболы, – действительная ось, – мнимая ось.
Итак, поверхность может быть получена вращением гиперболы относительно ее мнимой оси, т.е. поверхность – однополостный гиперболоид вращения, – ось симметрии, – плоскость симметрии.
| Однопо-лостный гиперболоид вращения
|
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|