Главная | Обратная связь

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть прямая проходит через две данные точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂) (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Прямая, проходящая через две точки

 

Тогда направляющим вектором будет вектор

Подставив его координаты и координаты данной точки M₁(x₁; y₁) в уравнение (3.3) получим уравнение:

(3.4)

Уравнение (3.4) называют уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример 3.2. Записать уравнение прямой, проходящей через точки M₁(3; 1) и M₂(5; 4).

Подставив координаты данных точек в уравнение (3.4), получаем уравнение искомой прямой:

или или 3х – 2 y – 7 = 0.

3.4. Общее уравнение прямой:

ax + by + c = 0 (3.5)

(коэффициенты a, b не равны нулю одновременно).

Рассмотрим частные случаи расположения прямой относительно осей координат Ох и Оy:

 

Уравнение прямой, которая проходит через данную точку, перпендикулярно данному вектору

Докажем, что прямая ax + by + c = 0 перпендикулярна вектору . Пусть прямая проходит через некоторую точку M₀(x₀; y₀). Тогда выполняется равенство ax₀ + by₀ + c = 0. Вычитая это равенство из общего уравнения прямой, получаем . Отсюда следует, что вектор перпендикулярен вектору , т.к. их скалярное произведение равно нулю. А это и означает, что вектор перпендикулярен прямой ax + by + c = 0.

Уравнение

(3.6)

называют уравнением прямой, которая проходит через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

Рис. 3.4. Прямая, проходящая через точку, перепендикулярно данному вектору

Пример 3.3. Записать уравнение прямой, которая проходит через точку M(3; -1) перпендикулярно вектору .

Подставив в уравнение (3.6) координаты вектора и точки M(3; -1), будем иметь:

2(x-3) + 4(y+1) = 0, или 2x +4y -2 = 0, или x + 2y -1 = 0.

 

Взаимное расположение двух прямых, заданных общим уравнением прямой на плоскости:

 

 

 

Пусть заданы две прямые: и , которые пересекаются. Поскольку, координаты точки пересечения этих прямых должны удовлетворять уравнениям каждой прямой, то их можно найти, решив систему уравнений:

Эта система имеет единственное решение (x₀; y₀). Прямые пересекаются в точке M₀(x₀; y₀), где , .