 |
|
Оценка погрешностей многократных измерений
Кроме систематических погрешностей существуют случайные погрешности. Для того, чтобы выявить случайную погрешность необходимо повторить измерения несколько раз (многократные измерения).
В преобладающем большинстве случаев различные факторы, вызывающие погрешности измерений, не зависят друг от друга. Погрешность амперметра не зависит от погрешности вольтметра. Погрешность, обусловленная силами трения в рычажных весах, не зависит от погрешности, вызванной неточностью используемых гирь и т.п. Если каждое измерение дает отличные от других результаты, то имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность играет существенную роль.
В теории ошибок показывается, что наиболее близким к истинному значению является среднее арифметическое:
(1.7)
где 
- значение измеряемой величины в 
-ом опыте, 
- количество измерений. Чем больше , тем точнее 
приближается к истинному значению измеряемой величины. Однако число измерений всегда конечно и истинное значение 
остается неизвестным. По теории вероятности среднее арифметическое конечной серии измерений достовернее отдельных измерений, так как случайные отклонения от истинного значения в разные стороны равновероятны. При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения в процессе измерения является случайным событием.
Существует некоторая вероятность появления значения в интервале от 
до 
. За вероятность ( 
) появления величины в интервале шириной 
принимают относительную частоту появления значения в данном интервале, т.е. отношение числа 
значений попадавших в интервал к числу всех значений, при числе опытов 
. Очевидно, что вероятность достоверного события 
, а невозможного события 
т.е. 
или 
Доверительным интервалом называют интервал [ 
; 
], в который по определению попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью . Доверительной вероятностью , надежностью результата серии измерений, называют вероятность, того что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал.
Для серии из опытов случайные погрешности оценивают или по методу "средних", либо методом Стьюдента, связанным с функцией распределения случайных величин, за которые принимаются ошибки отдельных измерений.
В методе «средних»случайная погрешность находится как среднее арифметическое абсолютных значений погрешностей отдельных измерений взятых по модулю:
(1.8)
При этом полная абсолютная погрешность находится как сумма случайной и систематической погрешностей:
(1.8 а)
В методе Стьюдентадля оценки случайной погрешности используется формула:
(1.9)
где 
- коэффициент Стьюдента, который зависит от заданной вероятности и числа измерений .
Таблица 1. Коэффициенты Стьюдента
| Число измерений
| Доверительная вероятность (надежность)
| ||
| 90% | 95% | 99% | |
| 6,314 | 12,706 | 63,657 | |
| 2,920 | 4,303 | 9,925 | |
| 2,353 | 3,182 | 5,841 | |
| 2,132 | 2,776 | 4,604 | |
| 2,015 | 2,571 | 4,032 | |
| 1,943 | 2,447 | 3,707 | |
| 1,895 | 2,365 | 3,499 | |
| 1,860 | 2,306 | 3,355 | |
| 1,833 | 2,262 | 3,250 | |
| 1,812 | 2,228 | 3,169 | |
| 1,796 | 2,201 | 3,106 | |
| 1,782 | 2,179 | 3,055 | |
| 1,771 | 2,160 | 3,012 | |
| 1,761 | 2,145 | 2,977 |
Для 
, принятой в данном студенческом практикуме, могут быть использованы приближенные значения соотношений между 
и :
|
| ||||||||
|
| 4,30 | 3,18 | 2,78 | 2,57 | 2,45 | 2,36 | 2,31 | 2,32 |
Величину 
называют среднеквадратичной погрешностью среднего арифметического из серии измерений.
Полная абсолютная погрешность определяется по формуле:
(1.10)