 |
|
Линеаризация функций и метод наименьших квадратов
В физических исследованиях очень часто для сравнения эксперимента с теорией пользуются методом линеаризации теоретической зависимости. Например, исследуется зависимость силы тока вакуумного диода 
от величины задерживающего напряжения 
между катодом и анодом. Теоретическая зависимость имеет следующий вид:
, (1.17)
где 
– ток при 
, 
– постоянная Больцмана, 
– абсолютная температура,
– заряд электрона.
Построенный по экспериментальным данным участок зависимости 
может с равным успехом иллюстрировать и квадратичную, и кубическую, и экспоненциальную зависимости. Чтобы выяснить, подтверждают ли экспериментальные данные теорию, теоретическую зависимость преобразуют так, чтобы между функцией и аргументом была линейная зависимость.
Прологарифмировав выражение (1.17), получим:
(1.18)
Это уравнение прямой вида:
(1.19)
где 
, 
, 
– угловой коэффициент прямой, 
.
Если экспериментальные результаты улягутся на прямую (в пределах погрешностей измерений) в координатах 
, можно утверждать, что зависимость между и носит именно экспоненциальный характер, как это и следует из теории (см. рис.1)
Во многих случаях знание уголовного коэффициента 
и величины 
позволяет определить и другие параметры изучаемого явления.
|
Рис.1. Зависимость 
от величины задерживающего напряжения .
Описание приборов и метода измерений
Масштаб и нониус
Для воспроизведения и контроля длины в промышленности широко используются штриховые и концевые меры. Плоскопараллельные концевые меры представляют собой наборы параллелепипедов (прямоугольных) из твердого сплава длиной до 1000 мм. Они предназначены для передачи размера единицы длины от первичного эталона к концевым мерам меньшей точности, а также для поверки, градуировки и настройки измерительных приборов. Для контроля длины используют также различные калибры, щупы, шаблоны.
Штриховые меры – это в основном измерительные линейки (масштабные) и штангенинструменты. Погрешность измерения длины масштабными линейками зависит от погрешности нанесения делений (0,1 – 0,2 мм) и погрешности отсчитывания (0,2 – 0,3 мм). Под общим названием штангенинструмент объединяется большая группа измерительных средств, предназначенных для измерения и разметки линейных размеров (штангенциркуль, штангенглубиномер, штангенрейсмаса). Отличительной особенностью этих измерительных приборов является то, что в них используется линейка со шкалой (штанга), имеющая деления через 1 мм, а отсчитывание частей деления основной шкалы производится с помощью (дополнительной) шкалы – нониуса.
Применение нониуса основано на свойстве человеческого глаза лучше оценивать совпадение штрихов, нежели расстояние между ними. Нониус – это подвижная вспомогательная шкала, состоящая из определенного числа делений и перемещающаяся относительно шкалы штанги (рис.2).
Длину шкалы нониуса выбирают таким образом, чтобы она совпадала с длиной некоторой части шкалы штанги, включающей в себя целое число делений. Например:
, (2.1)
где: 
– длина шкалы нониуса; 
– интервал деления шкалы нониуса;
– число делений нониуса; – цена деления шкалы штанги.
Из формулы (2.1) следует, что
(2.2)
– отсчет по нониусу (нельзя называть ценой деления нониуса). В общем случае расчет основных параметров нониуса ведется по формулам:
(2.3)
где: 
– модуль (коэффициент), определяющий соотношение между ценой деления штанги и интервалом деления нониуса. При увеличении модуля , например, в два раза интервал деления шкалы нониуса также увеличивается почти вдвое. Тем самым создаются лучшие условия для считывания результата измерения. Модуль принимают равным 1; 2 или 5, а отсчет по нониусу – 0,1; 0,05 или 0,02 мм.
Рис.2. Нониус
Рис.3. Масштаб с нониусом
На точность оценки видимого взаимного смещения штрихов штанги и шкалы нониуса влияет разрешающая способность человеческого глаза. Наименьшее смещение штрихов составляет около 0,012 мм. Измерение длины какого-либо тела масштабной линейкой с нониусом производится следующим образом. Масштаб прикладывается своим нулевым делением к одному краю тела (рис.3). К другому краю тела прикладывается нулевое деление нониуса.
Отсчет длины производится так: целое число деление отсчитывается по масштабу, дробная часть отсчитывается по нониусу. Для этого находят то деление нониуса, которое наилучшим образом совпадает с каким-либо делением масштаба. Номер этого деления нониуса умножают на величину отсчета по нониусу. В примере на рис. 2 целое число делений на основной шкале составляет 8, и совпадающим делением нониуса является деление 3. Умножив 3 на отсчет по нониусу, равный 0,2 деления масштаба, получим длину тела, которая равна 8,6 т.е.
где: – длина тела, – число, равное целому числу делений масштаба, 
– номер деления нониуса, которое совпадает с любым каким-то делением масштаба.