Главная | Обратная связь

Расчет погрешностей косвенных измерений

Принятые обозначения

 

-измеряемая величина, -среднее значение измеряемой величины, - абсолютная погрешность среднего значения измеряемой величины, - относительная погрешность среднего значения измеряемой величины.

 

Расчет погрешностей непосредственных измерений

 

Итак, предположим, что были проведены n измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях. В этом случае можно рассчитать среднее значение этой величины в проведенных измерениях:

(1)

Погрешность вычисляется по следующей формуле:

(2)

В этой формуле используется коэффициент Стьюдента . Его значения при разных доверительных вероятностях и значениях приведены в таблице.

 

Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

 

Задача.

Вы провели измерения времени t движения каретки по наклонной плоскости между двумя датчиками. Было сделано 10 измерений и получены следующие значения (сек): 0.28, 0.30, 0.29, 0.31, 0.30, 0.29, 0.30, 0.31, 0.28, 0.30. Требуется найти среднее значение T измеряемой величины (времени движения) и его погрешность . Инструментальная погрешность секундомера в автоматическом режиме с.

 

Решение.

С использованием формулы (1) находим:

с

Теперь с использованием формулы (2) найдем абсолютную погрешность среднего значения при доверительной вероятности и числе степеней свободы (используем значение =2,262, взятое из таблицы):

Так как полученное значение погрешности измерения меньше инструментальной погрешности, следовательно, результат записывается следующим образом:

 

t = 0,29 ±0,01 с

Если абсолютная погрешность средней величины оказывается сравнимой или больше инструментальной погрешности, то в окончательном ответе погрешности суммируются:

Расчет погрешностей косвенных измерений

 

Предположим, что в ходе эксперимента измеряются величины , а затем c использованием полученных значений вычисляется величина по формуле . При этом погрешности непосредственно измеряемых величин рассчитываются так, как это было описано в пункте 3.

 

Расчет среднего значения величины производится по зависимости с использованием средних значений аргументов .

 

Погрешность величины рассчитывается по следующей формуле:

,(3)

где - количество аргументов , - частные производные функции по аргументам , - абсолютная погрешность среднего значения аргумента .

 

Абсолютная погрешность, как и в случае с прямыми измерениями, рассчитывается по формуле .

Пример расчета погрешностей непосредственных измерений:

 

Задача.

Было проведено 5 непосредственных измерений величин и . Для величины получены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для величины получены значения: 500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины , определяемой по формуле и найти погрешность полученного значения.

 

Решение.

По формуле (1) найдем средние значения величин и :

 

Вычисляем :

Находим в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы значение . По формуле (2) рассчитываем погрешности средних значений величин и :

С использованием формулы (3) находим относительную погрешность среднего значения величины :

 

Найдем абсолютную погрешность среднего значения величины :

_/

Запишем результат:

 

Таблица коэффициентов Стьюдента

a =0,68	a =0,95	a =0,99
n	ta ,n	n	ta ,n	n	ta ,n
	2,0		12,7		63,7
	1,3		4,3		9,9
	1,3		3,2		5,8
	1,2		2,8		4,6
	1,2		2,6		4,0
	1,1		2,4		3,7
	1,1		2,4		3,5
	1,1		2,3		3,4
	1,1		2,3		3,3
	1,1		2,1		3,0
	1,1		2,1		2,9
	1,1		2,0		2,8
	1,0		2,0		2,6