 |
|
Модели, описывающие свойства жидких, мягких и твердых биологических тканей. Модели деформации полимеров, эластомеров.
Упругие и вязкие свойства тел удобно моделировать. Это дает возможность нагляднее представить механические свойства как биологических объектов, так и материалов, используемых в стоматологии.
а) Моделью упругого тела является пружина (рис. 6.19, а), подчиняющаяся закону Гука. Деформация (ε) мгновенно появляется в момент t = 0 и мгновенно исчезает в момент t1.
Малая деформация пружины описывается законом Гука
б) Моделью вязкого тела является поршень с отверстиями, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью.
Деформация нарастает линейно до некоторого значения, а после прекращения действия силы (момент t1) перестает меняться
Напряжение возникающее в вязком теле описывается уравнением
где η – коэффициент динамической вязкости.
Напряжение в вязком теле зависит не от самой деформации, а от ее скорости 
.
Вязкоупругие свойства тел моделируются системами, состоящими из различных комбинаций двух простых моделей: пружина и поршень. Рассмотрим три возможные из них.
в) Реологическая модель Максвелла представляет собой последовательно соединенные упругий и вязкий элементы. Модель вязко-упругой деформации (модель кожи)
Напряжение в каждом элементе является одинаковым. В любой момент времени для деформации выполняется условие
Общая скорость вязкоупругой деформации равна сумме скоростей упругой и вязкой деформаций.
Решение этого уравнения приводит к следующему характеру развития деформации. В момент t = 0 пружина мгновенно растягивается, а затем начинается линейное нарастание деформации, связанное с движением поршня. В момент t1 пружина сокращается до начального размера, а поршень останавливается - имеет место остаточная деформация.
т.е. под действием постоянной приложенной силы происходит вязкое течение (поршень движется с постоянной скоростью).
При воздействии постоянной силой пружина мгновенно удлиняется, а поршень движется с постоянной скоростью до тех пор, пока действует сила. Так моделируется ползучесть материала.
Если F=const, то
- уравнение ползучести.
г) Модель Кельвина-Фойхта представляет собой параллельно соединенные пружины и поршня. Эта модель характерна для полимеров.
Напряжение в такой системе складывается из напряжения упругой деформации и напряжения в вязком теле:
.
Деформация описывается уравнением:
.
В рамках модели Кельвина-Фойхта деформация экспоненциально возрастает со временем. При снятии нагрузки ( 
в момент времени 
) деформация начинает экспоненциально убывать.
Представим график относительной деформации от времени.
ОА – мгновенная деформация в продольном направлении (действует постоянная нагрузка мгновенно растягивается пружина 1) АВ – ползучесть (вытягивается поршень). Точка В – прекращение нагрузки. ВС – быстрая деформация (быстрое сжатие пружины 1) СД – обратная ползучесть (пружина 2 втягивает поршень в обратное положение) Точка Д – соответствует остаточной деформации (модель этого не учитывает).
Реологическая модель Зингера
В материалах реализуются разные виды деформаций: упругая обратимая (модель - пружина), вязкоупругая обратимая (модель Кельвина-Фойгта) и необратимая (модель - поршень). Сочетание трех моделей, рассмотренных выше, позволяет создавать модели, наиболее полно отражающие механические свойства тел и, в частности, биологических объектов.
Примером такой модели является модель Зинера (рис. 6.19, д),
которая состоит из последовательно соединенных упругого элемента и модели Кельвина-Фойгта. Временная зависимость относительной деформации (без вывода) показана на рис. 6.19, д. При действии постоянной нагрузки мгновенно растягивается пружина 1, затем вытягивается поршень и растягивается пружина 2, после прекращения нагрузки происходит быстрое сжатие пружины 1, а пружина 2 втягивает поршень в прежнее положение; остаточная деформация отсутствует.
Поведение костной ткани в первом приближении описывается моделью Зинера. Упругая деформация реализуется за счет минерального вещества, а ползучесть - за счет коллагена.
Дифференциальное уравнение, описывающее данную модель имеет вид:
Осн. внимание уделяется таким условиям нагружения, когда одновременно проявляются вязкие и пластич. или вязкие и упругие св-ва в-ва.
Существуют три осн. реологич. модели для тел, не подчиняющихся этим соотношениям: вязкоупругие (и упруговяз-кие) среды, пластичные тела и неньютоновские жидкости. Реальные материалы могут сочетать мех. св-ва, характерные для разл. моделей. При достаточно малых напряжениях, деформациях или скорости деформирования все РУС линейны, но при возрастании деформаций или напряжений мех. поведение тела становится более сложным и описывается нелинейными РУС. Соотв. различают линейные и нелинейные тела (среды, материалы).
Реологические явления проявляются во многих природных процессах и в большом числе технологических.: цементная паста, растворы и расплавы полимеров зубные пасты,
Поведение материала, которое объединяет в себе оба эти свойства – и упругости, и вязкости, - называют вязкоупругим. Упругое тело и вязкая жидкость занимают крайние противоположные точки в широком спектре вязкоупругих сред.
Линейную вязкоупругость для одномерного состояния удобно трактовать при помощи механических моделей, которые наглядно демонстрируют поведение различных вязкоупругих материалов [93]. Эти модели строятся из таких механических элементов, как линейно-упругая пружина с модулем упругости E (массой этой пружины пренебрегают) и вязкий элемент (демпфер) с коэффициентом вязкости h (вязкий элемент представляет собой поршень, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью).
Представление о вязкоупругой деформации дает поведение моделей, сочетающих свойства вязкости и упругости в такой последовательности: при нагружении тела в нем возникает мгновенная упругая деформация, подчиняющаяся закону Гука; далее при том же максимальном напряжении наблюдается вязкая деформация, подчиняющаяся закону Ньютона.