Главная | Обратная связь

Похибка обчислення функції.

Нехай відомі похибки деякої системи величин. Потрібно визначити похибку даної функції від цих величин.

Нехай задана диференційованана функція

u = и(x₁, x₂, … , x_n)

і нехай │Δx_і│ (і = 1, 2, … , n) абсолютні похибка аргументів функції. Тоді абсолютна похибка функції

Як правило, на практиці │Δx_і│ малі величини, тому можна покласти

Наприклад, для функції двох змінних

, .

Тут повний приріст замінюємо повним диференціалом, отже

(1)

Тобто гранична абсолютна похибка функції (2)

 

Поділивши обидві частини нерівності (1) на │u│, одержимо оцінку для відносної похибки функції u

Тоді гранична відносна похибка

 

Похибка суми.

Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

(1)

Гранична абсолютна похибка суми дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків

(2)

Із формули (2) випливає, що гранична абсолютна похибка суми не може бути меншою граничної абсолютної похибки найбільш точного із доданків, тобто доданка, який має максимальну похибку. З якою б точністю не було визначено решта доданків, ми не можемо за їх рахунок збільшити точність суми. Тому не слід зберігати лишні знаки більш точних доданків.

 

Похибка різниці.

Розглянемо різницю двох наближених чисел

За формулою (1) для граничної абсолютної похибки алгебраїчної суми одержимо

тобто абсолютна похибка різниці оцінюється так само, як і для суми.

Звідси гранична відносна похибка різниці: . (3)

Якщо х₁ і х₂ дуже близькі, то з формули (3) випливає, що гранична відносна похибка різниці може бути дуже великою, навіть коли відносні похибки і малі, тобто тут відбувається втрата точності.

Приклад: , , ,

але . Тобто гранична абсолютна похибка різниці майже у півтора рази більша за самийрезультат!

Звідси випливає практичне правило: Якщо в силу необхідності доводиться віднімати близькі числа, то їх слід брати з достатнім числом запасних знаків (якщо існує така можливість). Наприклад, якщо відомо, що при відніманні чисел х₁ і х₂ перші m значущих цифр зникнуть, то х₁ і х₂ слід брати з (n+m) вірними значущими цифрами. (щоб похибка обчислення не вийшла більша ніж результат!).

 

Приклад. Знайти різницю з трьома правильними знаками.

Оскільки , то результат u = 0,00353113.

 

Похибка добутку.

Відносна похибка добутку декількох наближених чисел, відмінних від нуля, не перевищує суми відносних похибок цих чисел. Нехай

, тоді .

Наслідок. Гранична відносна похибка добутку дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників, тобто

Розглянемо частковий випадок u = k x , де k –множник, відмінний від нуля.

,

тобто при множенні наближеного числа на точний множник k відносна гранична похибка не змінюється, а абсолютна гранична похибка збільшується в │ k │ разів.

Похибка частки

Відносна похибка частки не перевищує суми відносних похибок діленого і дільника.

Нехай Тоді на основі одержимо .

Наслідок. Якщо то