Здавалка
Главная | Обратная связь

Обернена задача теорії похибок



Обернена задача теорії похибок полягає в наступному: з якою точністю потрібно задати значення аргументів функція , щоб похибка значення функції не перевищувала заданої величини ε.

Для функції однієї змінної y=f(x) абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою

. (14)

Для функції декількох змінних задача розв’язується за допомогою наступних рекомендацій:

а) принцип рівних впливів, тобто вважаємо, що всі доданки рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою

; (15)

б) вважаємо всі похибки рівними, причому максимально можливими, тобто покладемо

,

де

.

 

Приклад 12. Сторона квадрату дорівнює 2м. З якою точністю її потрібно виміряти, щоб похибка знаходження площі не перевищувала 1см2?

Розв’язання. Позначимо сторону квадрату через x; S=x2, S'=2x. Тоді за формулою (14) отримаємо

см.

 

Приклад 13. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти вільний член квадратного рішення

x2–2x+lg2=0,

щоб отримати корені рівняння з чотирма вірними значущими цифрами?

Розв’язання.Для коренів рівняння (17) маємо , . Оскільки , тоді . Отже за змістом задачі потрібно визначити так, щоб , а для , щоб . Позначимо z=ln2 і розглянемо функцію . З’ясуємо, з якою точністю потрібно обчислити z* в околі точки 0,3, щоб , то використовуючи формулу (14), будемо мати

.

Звідси робимо висновок, що для знаходження кореня x1 потрібно обчислити lg2 з трьома вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,301.

Аналогічно, розглядаючи функцію отримаємо, що для знаходження кореня x2 з точністю 0,5·10–4 потрібно обчислити lg2 з чотирма вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,3010.

 

Приклад 14.В п’ятизначних логарифмічних таблицях дано значення десяткових логарифмів з точністю до e=0,5×10–6. Оцінити величину можливої похибки при знаходженні числа за його логарифмом, якщо саме число знаходиться між 300 та400.

Розв’язання.Позначимо . За умовою задачі і потрібно знайти . Маємо . Тоді за формулою (14) будемо мати

.

отже x можна знайти принаймні з трьома вірними значущими цифрами після коми.

 

Задачі

Задача 1. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближених чисел:

1) 3,2523

2) 0,17153

3) 0,02103

4) 1,445

5) -0,0035392

6) -583,71

7) 0,004966

8) 315,55

9) 71,534

 

Задача 2. Визначити кількість вірних цифр в числі x, якщо його відносна похибка

1) x=2,7981 , d(x)=0,1×10-2;

2) x=12,8370 , d(x)=1%;

3) x=0,3328 , d(x)=0,2×10-1;

4) x=372,8 , d(x)=2%;

5) x=23,652 , d(x)=0,1;

6) x=17261 , d(x)=1%;

7) x=0,03575 , d(x)=0,5×10-2;

8) x=0,22453 , d(x)=10%;

9) x=0,000335 , d(x)=0,15;

10) x=6,3495 , d(x)=0,1%.

 

Задача 3. Визначити, яка рівність точніша:

1) 6/7=0,857 , =2,19;

2) 2/21=0,095 , =4,69;

3) 7/19=0,895 , =7,21;

4) 49/13=3,77 , =3,74.

 

Задача 4. Якою буде відносна похибка, якщо число p наблизити числом 3,14?

 

Задача 5. Записати число p з п’ятьма вірними значущими цифрами та визначити відносну похибку отриманого наближення.

Задача 6. Знайти з трьома вірними значущими цифрами.

 

Задача 7. При вимірі радіуса кола з точністю до 0,5 см, отримали число 14 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі кола.

 

Задача 8. Кожне ребро куба, виміряне з точністю 0,02 см виявилося рівним 15 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі куба.

 

Задача 9. Визначити відносну похибку обчислення повної поверхні зрізаного конуса, якщо радіуси його основ R і r та твірна , виміряні з точністю до 0,01 см, рівні: R=23,64 см, r=17,31 см, =10,21 см.

 

Задача 10. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

f=x1, x2,

де

1) x1=5,49 , x2=7,6;

2) x1=15,1 , x2=2,543;

3) x1=0,03 , x2=12,5.

 

Задача 11. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

f=x1, x2, x3,

де

1) x1=381,56 , x2=6157 , x3=0,0053;

2) x1=0,147 , x2=653 , x3=76,3;

3) x1=1,28 , x2=6,3 , x3=2,173.

 

Задача 12. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

f=x1 x2+ x2 x3,

де

x1=2,104 , x2=1,935 , x3=0,845.

 

Задача 13. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

f=x1/x2

1) x1=526,677 , x2=829;

2) x1=745,8371 , x2=336,2;

3) x1=6,3 , x2=449;

4) x1=5,684 , x2=5,032.

 

Задача 14. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

,

де x1=0,93 , x2=1,123.

 

Задача 15. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

,

де x1=3,15 , x2=0,831 , x3=1,123.

 

Задача 16. Оцінити абсолютну та відносну похибки обчислення функції:

1) ,

при x =2,34±0,01, y=1,25±0,02, z=3,05±0,02;

2) ,

при x =0,757±0,001, y=21,7±0,05, z=1,84±0,05;

3) ,

при x =4±0,1, y=3±0,05, z=1±0,08;

4) ,

при x =1,02±0,01, y=2,35±0,02, z=3,04±0,01;

5) ,

при x =5,8±0,01, y=0,65±0,02, z=1,1753±0,0002;

6) ,

при x =27,51±0,001, y=21,78±0,003, z=32,5±0,06;

7) ,

при x =36,5±0,01, y=26,35±0,005, p=3,14.

 

Задача 17. Знайти межі абсолютної та відносної похибки аргументів, які дозволяють обчислити з чотирма вірними знаками функції

,

де x1=2,10415 , x2=1,93521 , x3=0,84542.

 

Задача 18. Оцінити похибку в визначенікута x=60° за п’ятизначною таблицею сінусів.

 

Задача 18. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти значення аргументу x, щоб обчислити значення функції з точністю до 0,1×10–5?

 

Задача 19. З якою точністю потрібно обчислити , щоб відносна похибка обчислення коренів рівняння

не перевищувала 10–3?

 

Задача 20. З якою відносною похибкою треба виміряти висоту h =0.5 м та радіус основи r=10 для того, щоб відносна похибка обчислення об’єма конуса не перевищувала 0,1%?







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.