Обернена задача теорії похибок ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Обернена задача теорії похибок полягає в наступному: з якою точністю потрібно задати значення аргументів функція , щоб похибка значення функції не перевищувала заданої величини ε. Для функції однієї змінної y=f(x) абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою . (14) Для функції декількох змінних задача розв’язується за допомогою наступних рекомендацій: а) принцип рівних впливів, тобто вважаємо, що всі доданки рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою ; (15) б) вважаємо всі похибки рівними, причому максимально можливими, тобто покладемо , де .
Приклад 12. Сторона квадрату дорівнює 2м. З якою точністю її потрібно виміряти, щоб похибка знаходження площі не перевищувала 1см2? Розв’язання. Позначимо сторону квадрату через x; S=x2, S'=2x. Тоді за формулою (14) отримаємо см.
Приклад 13. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти вільний член квадратного рішення x2–2x+lg2=0, щоб отримати корені рівняння з чотирма вірними значущими цифрами? Розв’язання.Для коренів рівняння (17) маємо , . Оскільки , тоді . Отже за змістом задачі потрібно визначити так, щоб , а для , щоб . Позначимо z=ln2 і розглянемо функцію . З’ясуємо, з якою точністю потрібно обчислити z* в околі точки 0,3, щоб , то використовуючи формулу (14), будемо мати . Звідси робимо висновок, що для знаходження кореня x1 потрібно обчислити lg2 з трьома вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,301. Аналогічно, розглядаючи функцію отримаємо, що для знаходження кореня x2 з точністю 0,5·10–4 потрібно обчислити lg2 з чотирма вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,3010.
Приклад 14.В п’ятизначних логарифмічних таблицях дано значення десяткових логарифмів з точністю до e=0,5×10–6. Оцінити величину можливої похибки при знаходженні числа за його логарифмом, якщо саме число знаходиться між 300 та400. Розв’язання.Позначимо . За умовою задачі і потрібно знайти . Маємо . Тоді за формулою (14) будемо мати . отже x можна знайти принаймні з трьома вірними значущими цифрами після коми.
Задачі Задача 1. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближених чисел: 1) 3,2523 2) 0,17153 3) 0,02103 4) 1,445 5) -0,0035392 6) -583,71 7) 0,004966 8) 315,55 9) 71,534
Задача 2. Визначити кількість вірних цифр в числі x, якщо його відносна похибка 1) x=2,7981 , d(x)=0,1×10-2; 2) x=12,8370 , d(x)=1%; 3) x=0,3328 , d(x)=0,2×10-1; 4) x=372,8 , d(x)=2%; 5) x=23,652 , d(x)=0,1; 6) x=17261 , d(x)=1%; 7) x=0,03575 , d(x)=0,5×10-2; 8) x=0,22453 , d(x)=10%; 9) x=0,000335 , d(x)=0,15; 10) x=6,3495 , d(x)=0,1%.
Задача 3. Визначити, яка рівність точніша: 1) 6/7=0,857 , =2,19; 2) 2/21=0,095 , =4,69; 3) 7/19=0,895 , =7,21; 4) 49/13=3,77 , =3,74.
Задача 4. Якою буде відносна похибка, якщо число p наблизити числом 3,14?
Задача 5. Записати число p з п’ятьма вірними значущими цифрами та визначити відносну похибку отриманого наближення. Задача 6. Знайти з трьома вірними значущими цифрами.
Задача 7. При вимірі радіуса кола з точністю до 0,5 см, отримали число 14 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі кола.
Задача 8. Кожне ребро куба, виміряне з точністю 0,02 см виявилося рівним 15 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі куба.
Задача 9. Визначити відносну похибку обчислення повної поверхні зрізаного конуса, якщо радіуси його основ R і r та твірна ℓ, виміряні з точністю до 0,01 см, рівні: R=23,64 см, r=17,31 см, ℓ=10,21 см.
Задача 10. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними: f=x1, x2, де 1) x1=5,49 , x2=7,6; 2) x1=15,1 , x2=2,543; 3) x1=0,03 , x2=12,5.
Задача 11. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними: f=x1, x2, x3, де 1) x1=381,56 , x2=6157 , x3=0,0053; 2) x1=0,147 , x2=653 , x3=76,3; 3) x1=1,28 , x2=6,3 , x3=2,173.
Задача 12. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними: f=x1 x2+ x2 x3, де x1=2,104 , x2=1,935 , x3=0,845.
Задача 13. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними: f=x1/x2 1) x1=526,677 , x2=829; 2) x1=745,8371 , x2=336,2; 3) x1=6,3 , x2=449; 4) x1=5,684 , x2=5,032.
Задача 14. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними: , де x1=0,93 , x2=1,123.
Задача 15. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними: , де x1=3,15 , x2=0,831 , x3=1,123.
Задача 16. Оцінити абсолютну та відносну похибки обчислення функції: 1) , при x =2,34±0,01, y=1,25±0,02, z=3,05±0,02; 2) , при x =0,757±0,001, y=21,7±0,05, z=1,84±0,05; 3) , при x =4±0,1, y=3±0,05, z=1±0,08; 4) , при x =1,02±0,01, y=2,35±0,02, z=3,04±0,01; 5) , при x =5,8±0,01, y=0,65±0,02, z=1,1753±0,0002; 6) , при x =27,51±0,001, y=21,78±0,003, z=32,5±0,06; 7) , при x =36,5±0,01, y=26,35±0,005, p=3,14.
Задача 17. Знайти межі абсолютної та відносної похибки аргументів, які дозволяють обчислити з чотирма вірними знаками функції , де x1=2,10415 , x2=1,93521 , x3=0,84542.
Задача 18. Оцінити похибку в визначенікута x=60° за п’ятизначною таблицею сінусів.
Задача 18. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти значення аргументу x, щоб обчислити значення функції з точністю до 0,1×10–5?
Задача 19. З якою точністю потрібно обчислити , щоб відносна похибка обчислення коренів рівняння не перевищувала 10–3?
Задача 20. З якою відносною похибкою треба виміряти висоту h =0.5 м та радіус основи r=10 для того, щоб відносна похибка обчислення об’єма конуса не перевищувала 0,1%? ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|