Углы Эйлера. Формулы преобразования координат и поворотные матриц

Углы: прецессии ¾ = (t), нутации ¾ = (t), ротации¾j =j (t)

1. Переход от осей неподвижной системы координат [X] к осям системы [x₁]осуществляется поворотом на угол прецессии вокруг неподвижной оси OY ¾ прецессии системы [X]

[X] ={a₂_y}^т [x₁] (1), где {a₂_y}^т = (2).

2. Переход от осей системы[x₁] к осям системы[x₂]осуществляется поворотом на уголнутации вокруг оси системы [x₁]

[x₁] = {a₃_q}^т [x₂](3), где матрица {a₃_q}^т = (4).

3. Переход от осей системы [x₂]к осям системы[x] ^-¾ поворотом на угол ротации (собственного вращения) вокруг оси системы [x₂]

[x₂]= {a₂_j}^т [x] (5), где поворотная матрица {a₂_j}^тимеет вид матрицы (2) ¾ {a₂_y}^т

{a₂_j}^т = (6).

Подставляя в соотношение (1) ¾ [X] ={a₂_y}^т [x₁] соотношение (3) ¾ [x₁] = {a₃_q}^т[x₂], в котором [x₂]представлено в виде (5) ¾ [x₂]= {a₂_j }^т [x], получаем

[X] ={a₂_y}^т {a₃_q}^т {a₂_j}^т [x]. (7)

Или где искомая поворотная матрица является произведением трех матриц поворота (2), (4), (6), а именно:

{ a_y_,_q_,_j }^т = = {a₂_y}^т {a₃_q }^т {a₂_j }^т =

= =

(8)

Твердое тело с одной неподвижной точкой в общем случае участвует одновременно в трех вращениях, векторы угловых скоростей которых с использованием углов Эйлера имеют вид:

–вектор угловой скорости прецессии;

– вектор угловой скорости нутации;

– вектор угловой скорости ротации (собственного вращения).

Здесь – единичные орты осей вращения OY, OE, Oy соответственно.

Поскольку названные оси пересекаются в точке О,тоабсолютное движение тела в каждый момент времени есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения вышеназванных осей с мгновенной угловой скоростью , равной геометрической сумме векторов угловых скоростей составляющих:

.

Случай регулярной прецессии – это такое вращение твердого тела вокруг неподвижной точки, при котором (рис. 4.2) во все время движения остаются постоянными:

· угол нутации , ;

· угловые скорости прецессии, ротации и мгновенная угловая скорость ( );

;

· угловое ускорение .

Величина и напраление вектора мгновенной угловой скорости определяются думя способами:

· 1) по ее составляющим ;

· 2) использовать мгновенную ось вращения , которую в дальнейшем будем для краткости обозначать . По известной скорости какой-либо точки Мтвердого тела и положению оси находят величину : , где – перпендикуляр, опущенный из точки Мна ось .

· 3. Определить угловое ускорение твердого тела. В случае регулярной прецессии и является закрепленным в точке О вектором, положительное направление которого определяется как результат векторного произведения.

· 4. Определить скорости произвольных точек твердого тела по формуле Эйлера , величина которой .

· 5. Определить ускорения произвольных точек твердого тела по формуле , где - вектор осестремительного ускорения, величина которого ; - вектор вращательного ускорения, величина которого .

· Так как всегда направлено от точки по к оси , можно не пользоваться векторной формой для . Что же касается , то его следует находить только по векторной форме.

· Поскольку при вращении около полюса вектор неколлинеарен , то и , вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами, поэтому определение должно производиться после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет равна

· .

· Для точек, лежащих на оси ротации твердого тела, справедливы также следующие зависимости:

· и ,

· где – нормальное ускорение; – касательное ускорение, при регулярной прецессии =0.

· Все векторы, лежащие в плоскости OXY(плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление же других векторов должно быть указано в тексте.