Главная | Обратная связь

Решение методом проекций

1. Изображаем на рисунке четыре данные силы и выбираем расположение осей проекций. В данном случае удобно начало осей поместить в точке A, а оси совместить с силами P₁ и P₃ (рис. 42, а).

2. Находим проекции данных сил на ось х:
X₁ = -P₁ = -18;
X₂ = -P₂ cos 60° = -10 cos 60° = -5;
X₃ = 0;
X₄ = P₄ cos 45° = 8 cos 45° = 5,67.

3. Находим проекции данных сил на ось у:
Y₁ = 0;
Y₂ = P₂ sin 60° = 10 sin 60° = 8,65;
Y₃ = P₃ = 6;
Y₄ = P₄ sin 45° = 8 sin 45° = 5,67.

Если трудно определить знак и числовое значение проекции, то необходимо помнить (§ 4), что проектируемую силу и две проекции на взаимно перпендикулярные оси всегда можно представить в виде прямоугольного треугольника. В тех случаях, когда еще нет достаточных навыков, силы и ее проекции можно изобразить отдельно, как показано на рис. 42, б для силы P₂ и на рис. 42, в для силы P₄. Эти рисунки облегчают правильное определение проекций.

Для сил P₁ и P₃ такие рисунки не нужны, так как сила P₁ лежит на оси х и, следовательно, проектируется на эту ось в натуральную величину, но зато на ось у проекция этой силы равна нулю. Сила P₃ проектируется в натуральную величину на ось у, а ее проекция на ось х равна нулю.

4. Находим проекции искомой равнодействующей R на оси х и у:
X_R = -18 - 5 + 5,67 = -17,3;
Y_R = 8,65 + 6 + 5,67 = 20,3.

Проекция на ось х получается отрицательной, а на ось у положительной. Значит вектор R, заменяющий действие четырех данных сил и приложенный к точке A, должен быть направлен относительно оси у вверх, а относительно оси х – влево. Положение равнодействующей R показано отдельно на рис. 42, г.

5. Находим модуль равнодействующей (т. е. заканчиваем решение задачи первым путем, см. п. 7 в § 4):
R = sqrt(X_R² + Y_R²) = sqrt(17,3² + 20,3²) = 26,7 кГ.

6. Находим угол φ, определяющий направление R относительно оси у (см. рис. 42, а):
tg φ = |X_R| / Y_R = 17,3 / 20,3 = 0,835
и, следовательно, φ ≈ 40°30'.

Для определения угла φ использован ΔABC (см. рис. 42, г), в котором ∠BAC=φ. Поэтому X_R не имеет значения и в выражение tg φ подставлена его абсолютная величина.

Угол φ можно найти при помощи синуса:
sin φ = |X_R| / R = 17,3 / 26,7 = 0,647 и φ ≈ 40°30'.

Для определения угла φ можно воспользоваться и косинусом, но при работе с логарифмической счетной линейкой эта функция менее удобна.

Таким образом, равнодействующая четырех заданных сил равна 26,7 кГ и направлена под углом 40°30' к положительному направлению оси у и под углом 90°+40°30'=130°30' к положительному направлению оси х.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

.

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно , , , т. е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В случае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия

Равенства выражают также необходимые условия (или уравнения) равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием сходящихся сил.