Здавалка
Главная | Обратная связь

ЗАКОНЫ КИРХГОФА В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ



Анализ и расчет сложных цепей переменного тока, так же как и цепей постоянного тока, производятся с помощью уравнений электрического состояния, составленных по законам Кирхгофа. Для цепей переменного тока вомногих случаях целесообразнее записывать уравнения электрического состояния цепей по законам Кирхгофа в векторной форме. На основании уравнений, записанных в векторной форме, легко построить векторную диаграмму.
Согласно первому закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю при любом законе изменения токов во времени Σi = 0. Для замкнутого контура электрической цепи может быть записано уравнение по второму закону Кирхгофа, связывающее мгновенные значения ЭДС, токов и напряжений независимо от того, по какому закону изменяются эти величины:
Σe = Σir + Σu.
В цепях синусоидальных ЭДС ток и напряжение изменяются синусоидально, поэтому они могут быть представлены вращающимися векторами и законы Кирхгофа записаны в векторной форме.
Первый закон: Геометрическая сумма токов узла равна нулю:
ΣĪ = 0.
Второй закон: Геометрическая сумма ЭДС при обходе по замкнутому контуру равна геометрической сумме произведений токов на полные сопротивления соответствующих ветвей контура плюс геометрическая сумма напряжений, действующих в контуре:
ΣĒ = ΣIZ + ΣŪ = ΣIr + ΣIX + ΣŪ.
Знаки перед соответствующими членами уравнения определяются так же, как и для цепей постоянного тока: при совпадении направлений E, I, U снаправлением обхода контура перед соответствующим членом уравнения проставляется знак плюс, при несовпадении — знак минус.

20)

МОЩНОСТЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Мощность, выделяемая в цепи переменного тока, непрерывно изменяется. Однако, если разбить период переменного тока и напряжения на очень малые интервалы времени, то в течение их можно считать значения тока и напряжения неизменными. Энергия, выделяемая за малый интервал времени , равна произведению средних значений тока и напряжения на этот интервал:
 
В общем случае ток и напряжение в цепи могут быть сдвинуты друг относительно друга по фазе на некоторый угол (рис. 2-14, а).
Рис. 2-14. Мощность переменного тока. а - ток и напряжение сдвинуты по фазе на угол ; б - ток и напряжение сдвинуты по фазе на 90°.
Если момент перехода напряжения через нуль к положительным значениям принять за начало отсчета времени, то в начальный момент времени
 
Энергия, выделяемая в цепи за малый интервал времени ,
 
Пользуясь тригонометрической формулой
 
получим:
 
Энергия, выделяемая за полный период переменного тока, является суммой энергий, выделяемых за все малые интервалы времени в течение этого периода:
(2-21)
Поскольку в первом слагаемом первые три сомножителя - постоянные величины, а во втором слагаемом суммирование произведения за период дает нуль (так как косинус половину периода имеет положительные, а половину периода такие же отрицательные значения), то
 
Средняя активная мощность переменного тока за период
(2-22)
Если ток и напряжение совпадают по фазе, что бывает при прохождении тока через активное сопротивление, то
 
Последнее выражение показывает, что в цепи переменного тока выделяется такая же активная мощность, которую выделял бы постоянный ток при его величине и величине напряжения, в раз меньших амплитуды переменного тока и напряжения. Эти величины называютдействующими (или эффективными) значениями переменного тока I и напряжения U:
 
Поскольку в рассматриваемом случае Um = Im·r, то выражение для средней мощности можно еще записать в виде
(2-23)
При данных амплитудах тока и напряжения выделяемая мощность будет тем меньше, чем больше угол сдвига фаз между ними. При сдвиге фаз 90° (рис. 2-14, б), что соответствует цепям с реактивными элементами - идеальными конденсаторами и катушками индуктивности без потерь, средняя мощность за период равна нулю, так как они в течение четверти периода запасают энергию, а в следующую четверть периода отдают ее обратно. Однако условно говорят о реактивной мощности Pр, отдаваемой и получаемой источником переменной э.д.с. при обмене энергией с реактивной нагрузкой, подразумевая под этим половину произведения амплитуд тока и напряжения на нагрузке на синус угла между ними:
 
Или, если учесть, что напряжение на идеальной реактивной нагрузке Um = Im·X, то
(2-24)
(2-25)
В радиотехнических цепях часто приходится встречаться со случаем, когда на некотором ее участке действует переменное напряжение , в то время как через него протекает постоянный ток и токи различных частот, кратных :
 
Возникает вопрос о том, какой энергетический эффект получится в результате взаимодействия этих токов с напряжением круговой частоты . Очевидно, что средняя за период мощность взаимодействия постоянного тока с переменным напряжением будет равна нулю. Половину периода она будет положительна - источник будет затрачивать энергию, а половину периода отрицательна - источнику будет возвращаться такая же энергия. Несколько сложнее обстоит вопрос о взаимодействии напряжения круговой частоты с токами кратных частот . Для того чтобы найти среднюю мощность за период действия напряжения T, нужно, как и раньше, разбить период на столь малые отрезки времени , в течение которых можно было бы считать ток и напряжения неизменными. Мощность, развиваемая на этом интервале,
 
Чтобы подсчитать среднюю мощность за время T, нужно умножить все pi на интервалы времени , просуммировать эти произведения и разделить на период T. В рассматриваемом случае это приведет к суммированию произведений вида
 
Нетрудно показать, что все суммы подобного вида равны нулю. На рис. 2-15 изображены напряжение и ток для случая, когда последний имеет вдвое большую частоту, чем напряжение (n = 2), а также график произведений их мгновенных значений. Из рассмотрения последнего видно, что мгновенная мощность также периодически изменяется во времени и дважды за время T переходит от положительных к таким же отрицательным значениям. Поэтому средняя мощность за время T будет равна нулю. Совершенно очевидно, что то же самое будет наблюдаться и при любом другом сочетании кратных частот.
Рис. 2-15. Мощность взаимодействия тока и напряжения кратных частот.
На основании рассмотрения, проведенного в настоящем параграфе, можно сформулировать весьма важный для дальнейшего вывод: если в цепи источника переменного напряжения протекают постоянный ток и переменные токи кратных частот, то энергетическое взаимодействие имеет место только с током, частота которого равна частоте источника напряжения; источник постоянного напряжения дает эффект энергетического взаимодействия только с постоянной составляющей проходящего через него тока.






©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.