Главная | Обратная связь

Сопротивление материалов

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ»

(МГУПИ)

А.Р.Пирумов, Г.Н.Трофимов, Н.Н.Холин

 

Сопротивление материалов

 

Ч.3 - методическое пособие

по прикладной механике

 

Москва, 1012

УДК 621.81.001.66

 

Рекомендовано к изданию в качестве учебного пособия

редакционно-издательским советом МГУПИ

 

Рецензент: д.ф-м. наук, проф. Головешкин В.А.

кафедра «Прикладная механика» Московского

государственного университета приборостроения и информатики

 

 

В учебном пособии изложен материал по сопротивлению материалов, предназначенный для студентов, изучающих курсы «Сопротивление материалов», и «Прикладная механика» по кафедре «Прикладная механика».

Все разделы курса снабжены примерами и задачами.

 

Табл. Ил. Библиограф. 5 назв.

 

УДК: 531.8

Рекомендовано к изданию в качестве учебно-методического пособия редакционно-издательским советом МГУПИ

 

Рецензент

д.т.н. , профессор В.А.Головешкин

 

Пирумов А.Р., Трофимова Г.Н., Холин Н.Н.

Сопротивление материалов: учебно-методическое пособие, 4.1. М.:МГУПИ, 2012, 120 с.

 

Для лучшего усвоения материала пособия мы рекомендуем студентам некоторые разделы теоретической механики, а для самостоятельной работы, кроме данного пособия, рекомендуются следующие учебники и пособия:

 

1. А.М. Кишкин, А.Р. Пирумов, Н.Н.Холин, Кинетика механической системы, ч. 2, М.: МГУПИ, 2011 г.
2. А.Р. Пирумов, Н.Н. Холин. Кинематика и кинетическая точка. Ч.1, М.,МГУПИ, 2011 г.
3. Федосьев В.И. Сопротивление материалов. 14 изд. Изд. МГТУ им Баумана, Москва, 2007 г.
4. Тимошенко О.П. Курс сопротивления материалов. 14 изд. Гос. издательство. Москва. 1930 г.
5. Л.И.Седов. Механика сплошной среды, «Наука», 1982, ч.2

 

Страница

 

Глава 1. Введение и основные понятия ………….……………………………………………………………..………..2

Глава 2. Напряжённо-деформированное состояние стержня при центральном растяжении (сжатии)……………....5

Глава 3. Учет собственного веса при растяжении и сжатии…………………………………………………………. 16

Глава 4.Напряжённое состояние в точке. Тензор напряжений………………………………………...……………..19

Глава 5. Плоское напряженное состояние……………………………………………………………………………....26

Глава 6.Упругое деформирование. Обобщённый закон Гука………………………….……………………………..31

Глава 7. Чистый изгиб балок…………………………………………………………………………………………….41

Глава 8. Поперечный изгиб балки. Формула Д.Журавского…………………………………………………………..48

Глава 9. Эпюры внутренних силовых факторов при изгибе…………,………………………………………………..56

Глава 10. Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения……………………61

Глава 11. Расчета на сдвиг заклепочных соединений………………………….……………………………………….80

Глава 12. Устойчивость стержней………….……………………………………………………………………………83

Глава 13. Анализ формулы Эйлера……………………………………………………………………………………....90

Глава 14. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ф.Ясинского…………………..…………………....93

Глава 15. Прочность при циклических нагрузках…………………..………………………………………………….101

Глава 16. Усталостная прочность………………………………………………………………………………………..106

Глава 17. Динамическое нагружение……………………………………………………………………………………111

Глава 1. Введение и основные понятия

Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов ведутся прочностные расчеты и определяются необходимые размеры деталей машин, различных конструкций и сооружений.

Основные понятия сопротивления материалов опираются на законы и теоремы теории упругости, которая является разделом механики сплошной среды.

В отличие от теоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, где наиболее существенными являются свойства деформируемых тел, а законы движения тела как абсолютно твёрдого являются несущественными.
Сопротивление материалов имеет целью создание инженерных методов расчета на прочность и устойчивость типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость довести решение каждой практической задачи до некоторого числового результата заставляет прибегать к упрощающим гипотезам.

Определим основные понятия сопромата, которые мы использовали выше.

Прочность – способность конструкции выдерживать заданную нагрузку, не распадаясь на отдельные части.

Жесткость – это сопротивляемость тела деформированию.

Деформируемость – свойство конструкции изменять свои геометрические размеры и форму под действием внешних сил

Устойчивость – свойство конструкции сохранять при действии внешних сил исходную форму равновесия.

Механика сплошной среды рассматривает материал как сплошное тело, наделенное свойством однородности структуры. Материал обладает свойством упругости, то есть свойством тела восстанавливать свою форму после снятия внешних нагрузок.

Однородной называется структура, в которой механические свойства во всех точках тела одинаковы и не зависят от величины рассматриваемых объёмов.

Сплошность материала – это свойство заполнять все участки рассматриваемых объёмов. Это свойство вытекает из предыдущего.

Твёрдое тело мы называем изотропным, если в каждой точке его свойства по различным направлениям одинаковы. В действительности это часто не так. Например, свойства дерева вдоль волокон и поперёк волокон, свойства монокристаллов и т.д.

 

На рис. 1.1 представлены геометрические формы элементов конструкций, рассматриваемых в сопромате.

Рис.1.1 а) стержень, б) пластина, в) оболочка

Определим внешние нагрузки в зависимости от их величины, характера распределения (сосредоточенная или распределенная сила или момент), а также воздействия внешних полей и сред.

Внешние силы, действующие на элемент конструкции, подразделяются на 3 группы: 1) сосредоточенные силы, 2) распределенные силы, 3) объемные или массовые силы.

Сосредоточенные силы — силы, действующие на небольших участках поверхности конструкции.

Распределенные силы приложены к значительным участкам поверхности.

Объемные или массовые силы приложены к каждой частице материала (например силы тяжести, силы инерции).

Основным методом решения задач сопромата является «метод плоских сечений».

Метод плоских сечений состоит в следующем. Произвольно напряжённую конструкцию, например стержень, мысленно разделяем плоскостью на две части. Мысленно одна из частей тела отбрасывается. Для сохранения статического равновесия оставшейся части тела действие отброшенной части на оставшуюся заменяется действием внутренних сил взаимного сцепления. Начало координат помещается в центр тяжести плоскости сцепления. Внутренние силы взаимного сцепления приводятся к началу координат. Результирующими получаются главный вектор силы и главный вектор момента, которые раскладываются по осям координат. В результате получаем три силы и три момента, которые уже являются внешними силовыми факторами для рассматриваемой части тела и для стержня с продольной осью Z:

N(z) [H], [kH] – «нормальная» или «продольная» сила, обуславливает деформацию растяжения или сжатия.

Qx(z), Qy(z) – «поперечная» или «перерезывающая» сила, обуславливает деформацию сдвига.

Мх(z), My(z) [H m], [kH m] – «изгибающий момент», обуславливает деформацию изгиба.

Mz(z) – «крутящий момент» или «скручивающий момент», обуславливает деформацию кручения.

Основной гипотезой сопротивления материалов является гипотеза сечений Бернулли: «Сечения плоские до деформации остаются плоскими после деформации». В некоторых случаях, например, в задаче о кручении стержней некруглого поперечного сечения эта гипотеза неправомерна. Как следствие, методами сопротивления материалов решить такую задачу невозможно. В подобных случаях на помощь приходят науки с развитым математическим аппаратом, например, математическая теория упругости. С другой стороны, иногда с некоторыми допущениями удаётся использовать решения задач, когда гипотеза плоских сечений строго не соблюдается. Например, при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба.

В сопротивлении материалов используются три принципа.

Первый принцип. Принцип независимости действия сил, или принцип суперпозиции: «Суммарный эффект от действия всех сил равен сумме эффектов от каждой силы в отдельности». Данный принцип основывается на законе Гука, где, например, существует линейная связь между напряжением ( в формулировке принципа – это сила) и деформацией (в формулировке принципа – это эффект). Так при одновременном действии изгиба и растяжения суммарную деформацию в рассматриваемой точке тела получают простым сложением деформаций от изгиба и от растяжения.

Второй принцип. Принцип отвердения: «Под действием заданных нагрузок рассматриваемое тело в начале упруго деформируется, а затем отвердевает». Вследствие того, что абсолютные перемещения при упругом деформировании ничтожно малы по сравнению с размерами тела, то при составлении уравнений равновесия ими можно пренебречь и составлять уравнения для недеформированного состояния. Таким образом, этот принцип позволяет использовать уравнения статики для абсолютно твёрдого тела, которые неизмеримо проще уравнений, составляемых методами сопротивления материалов.

Третий принцип. Принцип Сен-Венана: «Распределение напряжений в сечениях достаточно удалённых от места приложения нагрузки не зависит от способа приложения нагрузки». Оказывается, что в областях приложения нагрузки способ приложения сказывается на характер распределения напряжений по сечению на длине, имеющей величину порядка величины поперечного сечения. Поэтому, исключив области приложения нагрузки, расчёты по определению напряжений можно проводить с помощью зависимостей, полученными методами сопротивления материалов. В областях приложения нагрузки расчёты ведутся по зависимостям для контактных напряжений, рассматриваемых в курсе деталей машин.

Замечание по поводу статически определимых и статически неопределимых систем.

Если при расчёте данной системы, находящейся в состоянии статического равновесия, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в её элементах можно определить только по методу плоских сечений, без использования дополнительных условий, то такая система называется статически определимой. На практике встречаются такие конструкции, при расчёте которых одних лишь уравнений равновесия оказывается недостаточно и требуется формулировка дополнительных уравнений, связанных с характером деформирования конструкций.

Системы, в которых количество положенных связей больше числа независимых уравнений равновесия называются статически неопределимыми.

 

 

Глава 2. Напряжённо-деформированное состояние стержня при центральном растяжении (сжатии).

 

1.Внутренние силовые факторы.

 

 

Y ℓ+∆ℓ

 

А а` а с с` В

P P

Z

 

b` b d d`

ℓ

Рис.2.1

 

Рассмотрим стрежень АВ, по торцам которого действуют силы Р, растягивающие его (рис.2.1).

Для установления вида напряженного состояния применим метод плоских сечений и определим внутренние силовые факторы (рис.2.2).

 

 

 

A

N(z) Z

 

 

Рис.2.2

 

Ограничимся рассмотрением случая, когда внешние силы Р приложены в центрах тяжестей торцевых сечений. Из рис.2.2 очевидно, что из всех внутренних силовых факторов отличной от нуля будет только нормальная сила N(z), приложенная в центре тяжести мысленного поперечного сечения. В этом случае имеет место так называемое центральное растяжение.

Условимся направлять нормальную силу по направлению внешней нормали. Составим уравнение равновесия:

- P + N(z)= 0

Откуда получаем : N(z)= P

 

Аналогично можно рассуждать в случае, когда пара сил Р сжимают стержень. В этом случае величину N(z) получим с отрицательным знаком.

Таким образом отличие растяжения и сжатия будет сказываться только в знаках. Знак плюс нормальной силы указывает на растяжение, знак минус – на сжатие.

 

2.Напряжения при растяжении – сжатии стержня.

 

Из определения понятий о напряжениях следует, что от действия нормальной силы возникают нормальные напряжения. При этом условимся, что по толщине стержня напряжения и деформации остаются неизменными. То есть, фактически можно ограничиться по определению напряжений по высоте поперечного сечения в плоскости поперечного сечения.

Закон распределения напряжений по сечению стержня можно представить различными способами: см. рис.2.3, 2.4 и 2.5

Z

N(z)

Рис.2.3

Z

N(z)

Рис.2.4

Z

N(z)

 

Рис.2.5

 

Примеры использования принципа Сен-Венана изображены на рис. 2.3 – 2.5. Принцип Сен-Венана позволяет получать приближённые решения задач теории упругости с помощью решения аналогичных задач для частных распределений действующих сил.

Введём понятия продольной деформации и продольного напряжения в соответствии с формулами (2.1) и (2.3). В сопротивлении материалов мы имеем дело с малыми упругими деформациями для которых справедлив закон Гука (см. 2.2).

 

Для установления закона распределения нормальных напряжений составим условие совместности деформации. Для этого воспользуемся гипотезой плоских сечений Бернулли .

Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения аb и cd.

 

ℓ(y)=const.

 

По гипотезе плоских сечений при растяжении эти сечения не искривятся и переместятся параллельно себе. В результате новое расстояние будет:

 

(ℓ+∆ℓ)(у)=const.

 

Абсолютное удлинение :

 

(ℓ+∆ℓ)(у)-ℓ(у)=∆ℓ(у)=const.

 

Относительное удлинение – деформация :

 

(2.1)

 

Используя закон Гука, связывающий напряжения с деформацией линейной зависимостью :

 

(2.2)

Где Е – модуль упругости (модуль Юнга).

 

Таким образом по сечению стержня нормальные напряжения распределяются равномерно (рис.2.5).

Согласно определению нормального напряжения

 

(2.3)

 

Можем записать :

 

 

Так как , эту величину можно вынести из под знака интеграла :

 

 

То есть :

 

Откуда окончательно :

 

(2.4)

 

При расчётах на жесткость при растяжении – сжатии требуется определять величину удлинения стержня под нагрузкой. Закон Гука можем записать следующим образом :

Подставляя значения напряжения и деформации, перепишем закон Гука :

 

где ℓ - длина стержня.

 

Отсюда выражение для удлинения ∆ℓ :

 

(2.5)

 

Таким образом, получили выражение для удлинения (укорочения) стержня при растяжении (сжатии). Жесткость стержня характеризуется произведением , которое так и называется «жесткость при растяжении – сжатии».

 

 

Расчеты на прочность при растяжении – сжатии.

Из формулы (2.4) следуют три рода задач, решаемые при растяжении – сжатии. Составляется уравнение прочности для наиболее опасного сечения :

 

где - допускаемое напряжение. (2.6)

 

 

Допускаемое напряжение определяется через механические характеристики материала.

 

- для пластичных материалов,

 

 

- для хрупких материалов,

 

Где - предел текучести,

 

- предел прочности, обе эти величины получают путем механических испытаний материала,

 

n – коэффициент запаса прочности, назначается в зависимости от рода материала, способа приложения нагрузки и степени ответственности детали.

Определение допускаемой нагрузки. Для расчётного «опасного» сечения определяется допускаемое значение внутреннего силового фактора :

В конкретных задачах существует однозначная связь величины с величиной внешней нагрузки. Таким образом, определяется величина допускаемой нагрузки.

 

 

Энергетический метод расчёта на прочность. Рассчитывается величина внутренней потенциальной энергии упругой деформации тела.

 

 

Внутренняя потенциальная энергия упругой деформации при растяжении – сжатии.

Энергия упругой деформации (U) подсчитывается в предположении, что нагрузка прикладывается статически. При этом работа внешних сил полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Процесс нагружения складывается следующим образом. При отсутствии нагрузки удлинение отсутствует. Чем больше нагрузка, тем больше удлинение стержня. Графически зависимость между статически прикладываемой нагрузкой и удлинением стержня можно представить в виде прямой в соответствии с законом Гука, см рис.2.6

 

 

P

 

0 ∆ℓ

Рис.2.6

 

Работа А определяется как площадь под кривой процесса:

 

Внутренняя энергия : U=A

Учитывая, что нормальная сила возникает от действия силы Р, можем записать :

 

Подставляя из формулы (2.5) значение величины ∆ℓ, получим :

 

Для стержня, состоящего из n участков, окончательно получаем :

 

 

 

Удельная потенциальная энергия определяется как энергия, отнесённая к единице объёма V :

 

Где .

 

Удельную энергию можем определить следующим образом :

 

При этом : ; .

Энергетическая гипотеза прочности. Здесь «опасным» считается такое состояние, когда удельная потенциальная энергия элемента начнёт превышать допускаемое при простом центральном растяжении:

Пример.

Стержень переменного сечения жестко защемлен в концевых сечениях и нагружен силой Р.

Требуется :

1) Определить реакции в заделках.

2) Построить эпюры нормальных сил N(z), нормальных напряжений , деформации и перемещений w(z). Для этого составить на каждом участке соответствующие аналитические выражения и определить в буквенном виде значения характерных ординат.

3) Определить из условия прочности допускаемую величину силы Р.

4) Определить энергию деформации двумя способами :

а) как работу внешних сил,

б) вычислить энергию деформации, используя аналитические выражения нормальных сил N(z).

Данные к задаче :

a=0.1м; ;

 

Примечания :

1) эпюра – это график исследуемой величины по оси стержня или по его поперечному сечению;

2) в нашем случае рассматривается задача когда напряжения и деформации по толщине стержня не меняются; и эпюры напряжений и деформаций строятся только по оси стержня.

 

Решение.

 

А В С 3 участок Д

1 участок 3F

F P Z

2a a 4a

Рис.2.7

Обозначаем характерные сечения начальными буквами латинского алфавита. Проводим продольную ось Z. см.рис.2.7. Отбрасываем мысленно заделку и заменяем на действия реакциями R_A и R_Д, направляя обе в стороны, противоположные направлению силы Р. Удобно на этой схеме провести оси будущих эпюр.

Составляем уравнение равновесия : , R_A+R_Д=P

Остальные уравнения равновесия дают тождественный ноль.

Таким образом, получаем одно уравнение с двумя неизвестными. Для решения поставленной задачи не достаёт одного уравнения, значит задача один раз статически неопределимая. Составим уравнения совместности перемещений, воспользовавшись законом Гука и принципом независимости действия сил.

Мысленно отбросим связь заделки в сечении А, заменив её действие силой R_A. При этом опора D сохраняется. Перемещение сечения А к сечению D под действием силы R_A будет равно :

При этом, жёсткость на 2 и 3 участках одинаковы, поэтому для 2 и 3 участков составляется общее слагаемое. Далее сечение освободим от нагрузки . Тогда перемещение сечения С к сечению D будет равно:

После простейших арифметических действий получаем :

 

 

Данный класс задач удобнее решать в простых дробях, что позволяет получать конечный результат в абсолютном значении без всяких приближений.

Аналогичные рассуждения в отношении правой реакции опоры приводят к результату

R д =7/11 P

Легко проверить, что при этом уравнение равновесия выполняется.

Построение эпюр.

Принято строить эпюры на недеформированном стержне.

 

 

Участок АВ . Мысленно делим стержень на 2 части и отбрасываем правую часть. Рассматриваем равновесие левой части. Мысленно направляем нормальную силу по внешней нормали и записываем уравнение равновесия левой части:

N(Z1) + Ra = 0 ;

То же отсечение левой части проводим на участке ВС, для которого условие равновесия имеет такой же вид, как и для

участка АВ. Таким образом нормальная сила на участках АВ и СD одинакова по величине и направлению (сжатие).

На участке CD стержень испытывает растяжение, так как из уравнения равновесия левой части стержня (при сечении

участка CD) следует:

N(Z3) = P – Ra > 0

Используя определение (2.4) для каждого из трёх участков определяем нормальные напряжения и строим

эпюру. Из закона Гука (2.2) определяем значения деформаций.

Строим эпюру нормальной силы

 

Эпюра перемещений W(Z).

Так как в пределах каждого участка деформации постоянны, то для построения эп.ры перемещений достаточно определить значения перемещений на границах участков и соединить эти координаты прямыми.

В сечении А перемещение отсутствует:

W(A)=0

В сечении В перемещение определяется деформацией первого участка:

и т.д.

Глава 3. Учет собственного веса при растяжении и сжатии.

Пусть вертикальный стержень (Рис.3.1) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.

а) б)

Рис. 3.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) — равновесие нижней отсеченной части.

 

Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) — грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:

Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:

Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:

Отсюда необходимая площадь стержня равна:

От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .

Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит , т.е. уже 15%.

Понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.

В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так спроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,

Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.

При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение . Для вычисления полного удлинения стержня постоянного сечения определим сначала удлинение бесконечно малого участка стержня длиной , находящегося на расстоянии от конца стержня (Рис. 3.1).

Абсолютное удлинение этого участка равно

Полное удлинение стержня равно:

Величина представляет собой полный вес стержня. Таким образом, для вычисления удлинения от действия груза и собственного веса можно воспользоваться прежней формулой:

подразумевая под S внешнюю силу и половину собственного веса стержня.

Что же касается деформаций стержней равного сопротивления, то, так как нормальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым , относительное удлинение по всей длине стержня одинаково и равно

Абсолютное же удлинение при длине стержня l равно:

где обозначения соответствуют приведенным на рис. 3.1.

Деформацию ступенчатых стержней следует определять по частям, выполняя подсчеты по отдельным призматическим участкам. При определении деформации каждого участка учитывается не только его собственный вес, но и вес тех участков, которые влияют на его деформацию, добавляясь к внешней силе. Полная деформация получится суммированием деформаций отдельных участков.

Глава 4.Напряжённое состояние в точке. Тензор напряжений.

Вектор напряженийp_n является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи некоторые свойства, не характерные для векторов. В частности, величина и направление вектора напряжений зависят от ориентации вектора n нормали бесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность всех возможных пар векторовп, р_n в точке определяет напряженное состояние в данной точке. Однако для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимости задавать бесконечное множество направлений вектораn, достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора напряжений. Так, что ось Z – продольная ось бруса, а X и Y – координаты любой точки его поперечного сечения.

Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направления которых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадки образуем дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy, dz. В результате в окрестности точки М получим бесконечно малый параллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dF_х=dydz, dF_н==dxdz, dF_я=dxdy.

Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 4.1). На каждой площадке действует одно нормальное напряжение , , , где индекс обозначает направление вектора нормали к площадке и два касательных напряжения с двумя индексами, из которых первый указывает направление действия компоненты напряжения, второй—направление вектора нормали к площадке.

Рис.4.1. Компоненты тензора напряженного состояния

Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы:

Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 4.1 все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 4.1) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью.

Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (правая грань):

Откуда следует:

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

Эти условия симметрии тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 4.2 плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали

Рис.4.2. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

 

п с компонентами n_x, n_y, n_z. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 4.2. При этом вектор напряжений p_n на наклонной площадке разложен па составляющие р_x, р_y, р_z вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dF_x, dF_y, dF_z, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

dFx=dFnx, dFy=dFny, dFz=dFnz

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

С учетом соотношений после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию р_x вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы Коши позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

полное напряжение

нормальное напряжение

и касательное напряжение

Среди всех возможных направлений вектора нормали n существуют такие направления, для которых вектор напряжений p_n параллелен вектору п. На соответствующих площадках действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Условия коллинеарности векторов p_n и n есть условия пропорциональности их компонент:

С учетом формул Коши получим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных компонент n_x, n_y, n_z вектора нормали к главной площадке

Эта система уравнений имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль:

Раскрывая определитель, приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения

Здесь введены обозначения

Выше написанное уравнение называется характеристическим уравнением для тензора напряжений. Коэффициенты этого уравнения называются инвариантами тензора напряжений. Решение кубического уравнения имеет три вещественных корня которые обычно упорядочиваются .

Каждому значению (j=1, 2, 3) соответствует вектор n ^j, характеризующий положение j-й главной площадки, с компонентами n ^j₁, n ^j₂, n ^j₃. Для нахождения этих компонент достаточно в уравнения подставить найденное значение и решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки

Главные напряжения обладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Для доказательства этого свойства достаточно исследовать на экстремум нормальное напряжение как функцию n_x, n_y, n_z при дополнительном ограничении. Можно показать, что три главные площадки, соответствующие главным напряжениям , взаимно перпендикулярны или, что то же самое, векторы n^j и n^k, соответствующие различным значениям j и k —; ортогональны. Условие ортогональности имеет вид

Кубическое уравнение можно переписать в виде

Получим следующие выражения для инвариантов через главные напряжения:

Термин «инвариантность» обозначает независимость объекта от выбора системы координат.

Введем среднее напряжение по формуле

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров , где

Первый тензор называется шаровым, он характеризует изменение объема тела без изменения его формы. Второй тензор, называемый девиатором, характеризует изменение формы. Особенностью девиатора напряжений является равенство нулю его первого инварианта:

Найдем положение площадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Для этого нужно отыскать экстремумы касательного напряжения. Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, параллельных одной из главных осей и образующих с двумя другими осями угол . По величине эти напряжения равны

При этом на площадках с экстремальными касательными напряжениями присутствуют нормальные напряжения, которые равны

Глава 5. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис. 5.1. При этом площадки х=const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

(5.1)

Рис. 5.1. Плоское напряженное состояние.

 

Рис. 5.2. Главные напряжения

 

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 5.1 Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

	(5.1)
	(5.2)

Так как на главных площадках касательное напряжение отсутствует, то, приравнивая нулю выражение (5.2), получим уравнение для определения угла между нормалью п и осью Оу

(5.3)

Наименьший положительный корень уравнения (5.1) обозначим через . Так как tg(х)—периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 5.1).

Если продифференцировать соотношение (5.1) по и приравнять производную нулю, то придем к равенству (5.3).

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

,

откуда получим

(5.4)

 

Сравнивая соотношения (5.3) и (5.4), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Экстремальность касательных напряжений

 

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5.4) в соотношение (5.2) и используя формулы

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений, выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

(5.5)

 

Аналогичная подстановка в (5.1) приводит