Главная | Обратная связь

Проверка сжатых стержней на устойчивость.

Ранее было отмечено, что для сжатых стержней должны быть произведены две проверки:

на прочность

на устойчивость

где

Для установления допускаемого напряжения на устойчивость нам остается теперь выбрать только коэффициент запаса k.

На практике этот коэффициент колеблется для стали в пределах от 1,8 до 3,0. Коэффициент запаса на устойчивость выбирается выше коэффициента запаса на прочность, равного для стали 1,5 — 1,6.

Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных на практике (начальная кривизна, эксцентриситет действия, нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и почти не отражающихся на работе конструкции при других видах деформации (кручение, изгиб, растяжение).

Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти обстоятельства могут сильно снизить грузоподъемность стержня. Для чугуна коэффициент запаса колеблется от 5,0 до 5,5, для дерева — от 2,8 до 3,2.

Чтобы установить связь между допускаемым напряжением на устойчивость [ ] и допускаемым напряжением на прочность [ ], возьмем их отношение:

или<

Обозначая

получим:

здесь — коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней.

Имея график зависимости от для данного материала, зная или и выбрав коэффициенты запаса на прочность и на устойчивость , можно составить таблицы значений коэффициента в функции от гибкости. Такие данные приводятся в наших технических условиях на проектирование сооружений; они сведены в таблицу.

Пользуясь этой таблицей, можно произвести подбор сечения сжатого стержня. Так как величина площади сечения зависит от [ ], а это напряжение в свою очередь через коэффициент связано с гибкостью стержня , т. е. с формой и размерами его сечения, то подбор приходится осуществлять путем последовательных приближений в таком, например, порядке.

Выбираем форму сечения и задаемся его размерами; вычисляем наименьший радиус инерции и гибкость; находим по таблице коэффициент и вычисляем допускаемое напряжение на устойчивость ; сравниваем действительное напряжение с величиной [ ]; если условие устойчивости

не удовлетворено, или удовлетворено с большим запасом, меняем размеры сечения и повторяем расчет. Конечно, окончательно выбранное сечение должно удовлетворять и условию прочности

В практических расчетах условие устойчивости иногда записывается так:

В левой части представляет собой расчетное (условное) напряжение.

Таблица:

Глава 15.Прочность при циклических нагрузках.

Рассмотрим валик диаметром d, опирающийся на подшипники, на консоли которого закреплен шкив - массивный диск, действующий на валик силой «Р», см рис. 15.1

Рис. 15.1

Опасным является сечение «В»:

Изобразим опасное сечение (см. рис. 15.2) в т. В

Рис. 15.2

Максимальное растягивающее напряжение имеет место в точке «m»:

Напряжение в текущей точке «n» с координатой:

Будет:

Или:

, или

 

(15.1)

Где t – время

Из формулы (15.1) следует, что при постоянной нагрузке напряжение в фиксированной точке поперечного сечения будет меняться по времени.

 

Рис. 15.3

На рис. 15.3 дан пример периодического нагружения. В действительности нагружение является случайным процессом.

Рассмотрим цикл напряжений, представленный на рис 15.4.

 

Рис. 15.4.

- «Цикл напряжений» - совокупность последовательных значений напряжений за один период их изменения при периодическом нагружении.

- «частота цикло f» - отношение числа циклов напряжений к интервалу времени их действия.

- « Период цикла T» - продолжительность одного цикла напряжений.

- « Максимальное напряжение цикла » - наибольшее значение напряжение цикла.

- «Минимальное напряжение цикла » - наименьшее значение напряжение цикла.

_ « Среднее напряжение цикла » - постоянная ( положительная или отрицательная) составляющая цикла напряжений ,равная алгебраической полусумме максимального и минимального напряжений цикла.

.

- « Амплитуда напряжений цикла » - наибольшее числовое положительное значение переменной составляющей цикла напряжений

.

- « Коэффициент асимметрии цикла напряжений Rσ» - отношение минимального напряжения цикла к максимальному.

По значению коэффициентам асимметрии цикла напряжений все цикла напряжений можно разделить на две группы : а) знакопеременные циклы напряжений и б) знакопостоянные циклы напряжений.

Знакопеременные циклы напряжений

Как пример такого цикла можно рассмотреть цикл, представленный на рис. 15.4. Напряжения по этим циклам изменяются по значению и по знаку.

Параметры симметричного цикла напряжений, у которого максимальные и минимальные значения напряжений равны по модулю, но противоположны по знаку.

 

=-1.

 

 

 

Знакопостоянные циклы напряжений.

 

. Примеры знакопостоянных циклов напряжений представлены на рис. 15.5

Рис. 15.5

В расчетах на усталость большую роль играет частный случай знакопостоянного цикла напряжений от нулевого значения напряжений.

 

Глава 16.Усталостная прочность.

Расчеты на прочность элементов конструкций, работающих при действии напряжений, переменных во времени, с использованием классических механических характеристик материала ( предел текучести, предел прочности) давали неудовлетворительные результаты. Появилась необходимость получения такой характеристики, которая учитывала бы особенности сопротивляемости материала напряжениям, переменным во времени. Были изготовлены специальные испытательные машины, в которых испытывались вращающиеся образцы. В результате испытаний были получены кривые усталости, представляющие собой графики зависимости между максимальными напряжениями и циклической долговечностью. Под циклической долговечностью «N» понимается число циклов напряжений ,выдержанных нагружаемым объектом до образования усталостной трещины определенной протяженности или до усталостного разрушения.

Пусть имеется машина, на которой можно производить усталостные испытания. Задавая постоянное значение , находим путем последовательных испытаний образцов такое наибольшее значение амплитуды , при котором материал способен еще выдержать неограниченное число циклов. Если для взятого материала такого предельного напряжения не существует, величина определяется по условному базовому числу N.

В результате проведенной серии испытаний устанавливается предельное значение , соответствующее некоторому напряжению . Полученный результат может быть графически изображен точкой в системе координат , . Сумма координат этой точки дает предельное максимальное напряжение цикла, т. е. предел усталости , где:

Продолжая такие испытания и дальше, получаем множество точек, через которые проводится предельная кривая, характеризующая прочностные свойства материала в условиях несимметричных циклов. Эта кривая носит название диаграммы усталостной прочности (рис. 16.1).

Точки А к С диаграммы соответствуют пределам прочности.при простом растяжении и сжатии. Точка В отражает результаты испытания в условиях симметричного цикла.

Полученная диаграмма дает возможность судить о прочности конструкции, работающей при циклически изменяющихся напряжениях.

Положим, для некоторой детали цикл характеризуется значениями напряжений и . Эти величины могут рассматриваться как координаты рабочей точки в плоскости , . Если рабочая точка располагается ниже предельной кривой, рассматриваемая деталь может в условиях циклически изменяющихся напряжений работать неограниченно долго. Если рабочая точка оказывается выше предельной кривой, деталь разрушится после некоторого числа циклов.

Так как построение диаграммы усталостной прочности связано с весьма трудоемкими испытаниями, предпочитают обычно полученную кривую АВС заменять двумя прямыми АВ и ВС, как это отмечено пунктиром на рис. 16.2. Рабочая область при этом несколько сокращается, что дает погрешность в запас прочности.

 

Рис. 16.1. Реализация предельного напряжения.

 

Рис. 16.2. Диаграмма усталостной прочности.

Для построения упрощенной диаграммы достаточно располагать пределом усталости при симметричном цикле , и иметь значения пределов прочности и .

Рабочая точка в плоскости , не может занимать произвольное положение. Она должна находиться в области осуществимых циклов, которая определяется следующими очевидными условиями:

и

Так как:

, а

то область осуществимых циклов имеет верхнюю границу в виде двух прямых:

и

Эти прямые вместе образуют треугольник АСD (рис. 16.3), который и представляет собой область осуществимых циклов.

 

Рис. 16.3. Область осуществимых циклов

Построим диаграмму усталостной прочности и нанесем на ней рабочую точку цикла. Диаграмма строится, как это было показано выше, на основе заданных механических характеристик материала , и , а рабочая точка определяется по номинальным значениям напряжений цикла и . С учетом поправки на концентрацию напряжений, на поверхностный и масштабный факторы координаты рабочей точки примут значения и (рис. 16.4).

Условимся под запасом усталостной прочности понимать отношение отрезка ОВ к отрезку ОА :

Рис. 16.4. Диаграмма усталостной прочности.

 

Это отношение характеризует степень близости рабочих условий к предельным для данного материала. В частном случае, когда напряжения не меняются во времени ( = 0), данное определение запаса прочности совпадает с обычным.

При подсчете запаса прочности можно прибегать к графическому построению диаграммы усталостной прочности и глазомерной оценке соотношения между отрезками. Точность такого определения остается в пределах точности определения исходных величин и последующих поправок.

В большинстве случаев для определения n предпочитают пользоваться расчетными формулами. Они получаются из геометрических соотношений отрезков, показанных на рис. 9.

Уравнения прямых СD и ОB будут:

,

Исключая из этих уравнений , находим абсциссу точки B, те.— отрезок Оb,

Искомый запас усталостной прочности:

Так как:

то

Если точка В находится на прямой, ограничивающей цикл по пределу текучести (точка В' на диаграмме рис. 9), расчет на усталостную прочность заменяется обычным расчетом по пределу текучести.

Все рассмотренные до сих пор вопросы усталостной прочности относились к случаю одноосного напряженного состояния. Совершенно аналогичным образом могут быть получены соотношения усталостной прочности для чистого сдвига (кручения). В случаях более общего напряженного состояния задача существенно усложняется.

Известны многие попытки создания гипотез усталостной прочности в сложном напряженном состоянии. Все они сводились в основном к обобщению известных гипотез предельных состояний на случай циклических напряжений. Такой путь, однако, до сих пор не дал положительных результатов, и в настоящее время приходится пользоваться в основном экспериментально установленными зависимостями.

Для наиболее часто встречающегося на практике расчета при двухосном напряженном состоянии , общепринятой в настоящее время является эмпирическая формула Гафа и Полларда

где n — искомый запас усталостной прочности; — запас усталостной прочности в предположении, что касательные напряжения отсутствуют; — запас по касательным напряжениям, установленный в предположении, что .

Приведенная формула применима не только в случае синфазного изменения и , но и при таких циклах, когда максимумы и достигаются не одновременно.

Глава 17. Динамическое нагружение.

Выше были рассмотрены вопросы расчётов на прочность, жёсткость и устойчивость при различных видах напряженно-деформированного состояния. При этом, рассматривались только случаи нагружения силами, прилагаемыми к элементам конструкций статическим способом. Вместе с тем, из опыта эксплуатации различных конструкций, механизмов и машин известно, что статический способ нагружения является наименее опасным с точки зрения прочности элементов конструкций. Действительно, лист стекла, нагружаемый статическим способом, может выдержать значительную нагрузку. Но достаточно грузу значительно меньшей массы с большой высоты ударно нагрузить этот лист стекла, как оно разрушится на мелкие части.

В чём же причина уделения такого внимания в курсе сопротивления материалов статическому способу нагружения? Причин можно назвать несколько. Остановимся на двух главных причинах.

Первая причина. В целях упрощения математического аппарата в инженерной науке о сопротивлении материалов используется принцип Даламбера: «Если к заданным силам и реакциям наложенных связей присоединить силы инерции, то получим уравновешенную систему. Сила инерции направлена противоположно ускорению». С помощью этого принципа можно свести все виды динамического нагружения к статическому, не перегружая курс сопротивления материалов решением сложных дифференциальных уравнений. При этом, иногда при некоторых способах динамического нагружения, например, при ударном нагружении, удаётся ввести так называемые динамические коэффициенты. При этом задача по расчётам на прочность и жёсткость ещё более упрощается, и расчёты сводятся к умножению статических напряжений и перемещений на эти динамические коэффициенты.

Вторая причина. Абсолютно все расчёты ведутся в относительных сравниваемых единицах. Например, единица «метр». Такая же относительная единица, как «верста», «дюйм», «миля» и т.д.. Но когда мы сравниваем «метр» и «дюйм» сразу понимаем, что «метр» больше «дюйма» грубо говоря в 40 раз. Так и при расчётах на прочность. Если напряжение, возникшее в детали равно 100 МПа, мы знаем, что выполненная из малоуглеродистой стали эта деталь будет работать надёжно , а выполненная из дерева – моментально сломается. При этом нам неважно, каким образом была получена величина допускаемого напряжения. Оказывается, при определении механических характеристик материала наиболее удобнее проводить испытания при статическом способе нагружения, так как при этом мы получаем стабильные результаты. А при определении допускаемых напряжений можно учесть характер нагрузки на деталь. Например, для малоуглеродистой стали с величиной придела текучести , равном 240 МПа , при учёте сил инерции в случае равномерного вращения детали допускаемое напряжение может быть принятым величиной 160 МПа , а при ударном нагружении – величиной 100 МПа , опираясь на принцип Даламбера расчёты при динамическом нагружении можно разделить на две части.

1. При равноускоренном или равнозамедленном движении, когда из уравнения движения имеется возможность легко определить ускорение, задача сводится к определению величины силы инерции, которую присоединяют к действующим нагрузкам. Это – так называем раздел: «Учёт сил инерции»

2. При ударном нагружении время соударения упругих тел весьма мало. Определение величины ускорения весьма затруднительно. Поэтому в сопротивлении материалов широкое применение получил энергетический метод расчётов при ударе. Во многих случаях удаётся определить динамический коэффициент при ударе. В итоге, задача сводится к определению этого коэффициента и умножению его на статические напряжения и деформации.

 

Учёт сил инерции.