Главная | Обратная связь

В чем заключается расчет балок на прочность. Метод начальных параметров. Правило верещагина.

Три типа задач;

1)Проверочный расчет

а)для хрупких материалов

[σ_сжат]=(3….5)·[σ_растяж]

Условия прочности

|мах.σ_сжат|≤[σ_сжат]

|махσ_растяж|≤[σ_растяж]

Проверяем мах. сжатое и мах. растянутое волокно;

max σ_сжат=М(х)у_мах^сжат/J_z=M(x)/W_z, W_z=J_z/y_мах^сжат

у_мах^сжат-мах расстояние от нейтральной оси до сжатого волокна

W_c-момент сопротивления сжатия поперечного сечения

Maxσ_растяж=М(х)у_мах^растяж/J_z=M(x)/W_z^растяж

W_Z^раст-момент сопротивления растяжения поперечного сечения

в)Для пластичных материалов

[σ_сж]=[σ_р]=[σ]

2)Проэктный расчет

Из условия прочности σ=М(х)/W≤[σ]

W_Z≥М(х)/[σ], W_Z-момент сопротивления поперечного сечения

W_Z=J_Z/y_max

а) для прямоугольного сечения

W_Z=J_Z/y_max, J_Z=bh³/12,

y_max=h/2 b) для круглого сечения

W_Z=J_Z/y_max, J_Z=пd⁴/64, y_max=d/2

c) для двутавра

Рассчитываем по формуле W_Z

W_Z=|M_max|/[σ]

M _max-из эпюра

Выбираем из таблицы больший и меньший двутавр, и с помощью табличных значений W_Z для выбранных двутавров рассчитываем σ и сравниваем с [σ]. Подходящий тот двутавр, которого σ удовлетворяет условия прочности. Так же сравниваем с условием рациональности по формуле |σ-[σ]/[σ]|·100%≤5%, отклонение не должно превышать 5%.

Чистый изгиб имеет место, если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент

Опыты на резиновых моделях брусьев, на поверхность которых нанесена резиновая сетка, показывает:

1)что линия перпенд. продольным волокнам вдоль деформации остается перпендик. или прямой после деформации, следовательно справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли и в поперечных сечениях не возникают касательные напряжения, иначе угол прямой изменился бы и имел бы параллелограмм, а не прямоугольник, так как происходил бы сдвиг слоев

2)верхние волокна с-d растягиваются, нижние e-f сжимаются, a-в не изменяет своей длины – нейтральный слой, тогда ρ – радиус кривизны нейтрального слоя, y-расстояние от некоторой точки до нейтрального слоя

Гипотеза о не надавливании слоев балки:

При чистом изгибе продольные слои бруса не оказывают давления друг на друга, а работают в состоянии осевого растяжения сжатия, отсюда для каждого волокна при осевом растяжении сжатии справедлив закон Гука: σ =Е·ε =Е ·y/p- формула для определения нормальных напряжений балки через кривизну ее изогнутой оси

σ –зависит от координаты точки, в которой вычисляется, чем больше y тем больше σ. При у=0, σ=0, отсюда в нейтральном слое σ=0.

Формула для определения нормальных напряжений балки через кривизну ее изогнутой оси: σ=E·y/ρ

σ- зависит от координаты точки в которой вычисляется, чем больше у тем больше σ. При у=0, σ=0, отсюда в нейтральном слое σ=0

у - расстояние от нейтрального слоя до волокна, в котором вычисляется напряжение

ρ - радиус кривизны

Элементарная внутренняя сила-σ·dA

Кривизна изогнутой оси бруса- 1/ρ

Кривизна нейтрального слоя балки (изогнутой оси бруса)- 1/ρ=М(х)/Е·J_Z

Жесткость поперечного сечения бруса на изгиб- E·J_Z.

Формула нормального напряжения при чистом изгибе- σ=E·(y/ρ)=EyM(x)/EJ_z=M(x)y/J_z,где

σ-напряжение в поперечном сечении с координатой х, в точке этого поперечного сечения с координатой у

М(х)-изгибающий момент в сечении с координатой х

J_Z-момент инерции рассматриваемого поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Прочность балки считается обеспеченной если мах. напряжение в опасном сечении не превышает допускаемого

Опасным считают сечения балки в котором М(х) имеет мах. значение.

МНП: Метод непосредственного интегрирования позволяет решать задачи определения перемещений при любом законе изменения жесткости сечений балки. В случае, когда балка имеет постоянную жесткость (EIz=const) и несколько грузовых участков, его применение становится нерациональным, так как для определения постоянных интегрирования зачастую требуется составлять и решать достаточно громоздкую систему линейных алгебраических уравнений. Этих трудностей можно избежать, если при составлении и интегрировании на участках дифференциальных уравнений упругой оси изогнутой балки придерживаться следующих правил (правил Клебша):
1.Начало общей для всех участков системы координат необходимо располагать в центре тяжести левого (или правого) концевого сечения балки.
2. Распределенную нагрузку продолжать (с сохранением ее характера) до конца балки, противоположному началу координат. При этом несуществующая часть нагрузки уравновешивается нагрузкой обратного направления (см. рис. 3.4).
3.Сосредоточенный момент Mi, входящий в выражение для правой части (3.4), записывать с множителем 0, здесь aMi – координата точки приложения момента.
4.При интегрировании выражения типа скобки не раскрывать, т.е.
(3.17)
Опуская доказательство, отметим, что при соблюдении вышеперечисленные правил постоянные интегрирования на участках соответственно равны друг другу, и число их сокращается до двух:
С(1)=С(2)=…=С(n)=C; D1= D2=…= D n= D

ПВ: При вычислении интегралов вместо аналитических выражений моментов используются их эпюры. Т.е. значение можно найти по способу Верещагина, перемножив эпюры Мp и М1.
Перемножить две эпюры - значит площадь нелинейной эпюры изгибающих моментов умножить на ординату другой обязательно линейной эпюры, находящейся под центром тяжести первой, и результат разделить на жесткость (в случаях, когда на данном участке обе эпюры линейны, совершенно безразлично, на какой из них брать площадь, а на какой ординату).
где - площадь произвольной фигуры;
Мc - ордината прямолинейной эпюры, соответствующей центру тяжести площади (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Произведение в пределах рассматриваемого участка положительно, если площадь и соответствующая ордината Мc расположены по одну сторону от оси данного участка, и отрицательно, если они расположены по разные стороны.
В тех случаях, когда эпюра является сложной, для определения ее площади или координаты центра тяжести эпюру разбивают на простейшие фигуры (рис. 6.3), для которых легко определить площадь и положение центра тяжести.
Таким образом, при определении перемещений с использованием правила Верещагина, соблюдают следующую последовательность:
1. строят эпюры внутренних силовых факторов от заданной нагрузки (такие эпюры принято называть грузовыми);
2. сняв заданную нагрузку, прикладывают единичную силу (или единичный момент) в сечении, перемещение которого определяется, и строят от нее эпюры внутренних силовых факторов (такие эпюры принято называть единичными);
3. перемножают эпюры - вычисляют интеграл Мора.
Ниже приведены величины площадей фигур и координат центров тяжести простейших эпюр