Замена переменных в определённом интеграле. ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Пусть fÎR[a, b] и на промежутке xÎ[a, b] рассматривается . Кроме того, пусть задана функция x = j(t) tÎ[a, b], причем j(a) = a, j(b) = b и функция строго монотонна и непрерывно дифференцируема на промежутке . Тогда справедлива формула, именуемая формулой замены переменной в определенном интеграле: . D▲. На иллюстрации сделана попытка пояснить необходимость монотонности функции x = j(t).
§. Примеры. 1°. Найти . а).Формальное применение формулы Ньютона–Лейбница дает: , что само по себе удивительно, ибо интеграл от неотрицательной функции оказался отрицательным. б). Давайте более аккуратно подойдем к нахождению первообразной функции. Для этого найдем первообразную отдельно для x больших и для x меньших нуля. Получим для , и для . Чтобы найти первообразную на всем промежутке надо потребовать чтобы найденная первообразная была непрерывна, т.е. чтобы Þ . Значит первообразная подынтегральной функции на промежутке имеет вид: и теперь применение формулы Ньютона– Лейбница дает правильный результат .
2°. . Формально выполняя замену переменной получим что , что очевидно неверно. Для получения правильного результата необходимо учесть, что функция разрывна при и следовало бы написать: , однако на этом пути нас ожидает еще одна неприятность принципиального порядка. Идея определенного интеграла не может быть реализована для бесконечных промежутков интегрирования. Здесь мы вторгаемся в область несобственных интегралов, которые будут рассмотрены несколько позже.
Приведенные два примера показывают что, и при применении формулы Ньютона –Лейбница и при замене переменной в определенном интеграле следует быть очень осторожным.
§. Формула интегрирования по частям
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|