Вычисление длин дуг плоских кривых.Стр 1 из 9Следующая ⇒
РАЗДЕЛ 2. Применение определенного интеграла В геометрических и физических задачах. Замечание: В полной мере теория приложений может быть разработана с применением кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Поэтому в излагаемом разделе нецелесообразно превышать некоторый уровень математической строгости. Навыки работы в этом направлении – вот что будет для нас главным в этом разделе. Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной фигуры может быть найдена из уже известного геометрического смысла определенного интеграла. . Для дальнейших приложений это будет удобно записать в виде криволинейного интеграла. (Все связанное с криволинейным интегралом, пока следует рассматривать только как удобную форму записи). = . Для областей с конфигурацией как на втором рисунке более удобной является формула: . При обходе областей сложной конфигурации можно разбивать ее на более простые области (пример указан на третьем рисунке) и для вычисления площадей плоских фигур пользоваться либо формулой , либо формулой , либо комбинированной формулой . Если функция, определяющая границу области, задана параметрически , то последняя формула принимает вид: . Формула для нахождения площади фигуры, граница которой задана в полярных координатах , имеет вид: и получена суммированием площадей элементарных криволинейных треугольников (рис. б, см. следующий параграф) .
Вычисление длин дуг плоских кривых.
Формула для нахождения длина дуги кривой получается суммированием длин элементарных дуг. Длина элементарной дуги в декартовых координатах может быть найдена по формуле Пифагора (рис. а) . *. Если кривая задана явно , то ; *. Если же кривая задана явно , то ; *. Для кривой, заданной параметрически, , получим . *. В полярной системе координат (рис. б) . В различных частных случаях: . И, наконец, формула для нахождения длины дуги кривой, записанная через криволинейный интеграл: . Эта формула, с учетом способа задания кривой, может быть переписана с помощью интеграла Римана, например: . Пример: Найти площадь и длину дуги эллипса с полуосями а и b. Зададим эллипс параметрическим уравнением: . Тогда 1). . 2). = = =…… .Получившийся интеграл – эллиптический интеграл и не выражается через элементарные функции. Его значение может быть найдено численными методами, например, методом прямоугольников, трапеций или Симпсона (они будут рассмотрены позже). Также его значение может быть найдено в справочниках по специальным функциям (например, М. Абрамовиц, И. Стиган). §. Криволинейные интегралы I-го рода.
Для кривой определим . Так определенный интеграл называется криволинейным интегралом первого рода. Физический смысл криволинейного интеграла первого рода – если функция определяет линейную плотность масс на кривой, то определяет массу кривой. Свойства криволинейного интеграла: 1. Определение интеграла корректно, т. е. не зависит от способа параметризации; 2. Интеграл не зависит от ориентации, т.е. при изменении направления обхода дуги интеграл не изменяется; 3. Интеграл линеен, т.е. интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций.; 4. Интеграл есть аддитивная функция дуги кривой, т.е. интеграл по всей дуге равен сумме интегралов по ее отдельным частям; 5. Интеграл от единицы численно равен длине кривой; 6. Интеграл монотонен, т. е. интеграл от неотрицательной функции неотрицателен.
§. Вычисление площадей поверхностей вращения. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|