 |
|
РАЗДЕЛ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ОпределениЯ
В предыдущих разделах введено понятие определенного интеграла от ограниченной функции по ограниченному промежутку. В настоящем разделе обобщается понятие определенного интеграла на случаи, когда:
*. если функция неограниченна на промежутке;
*. если промежуток интегрирования – неограничен;
А.1). Пустьфункция 
определена в промежутке 
и интегрируема в любой конечной его части 
, так что интеграл 
имеет смысл при любом 
.
.
Def: Конечный или бесконечный предел 
называется несобственным интегралом от функции на промежутке , и обозначается 
.
Аналогично определяется и несобственный интеграл 
.
2). Def:Пусть задан конечный промежуток 
и функция неограниченна в окрестности точки 
промежутка интегрирования ( в частности, если 
при 
). Конечный или бесконечный предел 
называется несобственным интегралом от неограниченной функции по промежутку и обозначается 
.
Аналогично определяется и несобственный интеграл 
.
Если рассмотренные пределы существуют, то говорят, что интегрируема в несобственном смысле, соответствующий интеграл называется несобственным и говорят, что он сходится к соответствующему пределу. Если предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
Б.Понятие несобственного интеграламожет быть расширено и на случай, когда функция неограниченна в окрестности точек 
промежутка интегрирования и, кроме того, промежуток интегрирования неограничен 
. Как определить такой несобственный интеграл, для простоты, покажем на конкретном примере:
.
Все интегралы в правой части являются несобственными в смысле данных выше определений. Если все эти интегралы сходятся (и только в этом случае), то несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
В. Если функция интегрируема в собственном смысле по замкнутому промежутку, то определенный интеграл по замкнутому промежутку и несобственный интеграл по полуоткрытому промежутку совпадает.
и 
, причем в последнем равенстве в левой части стоит несобственный интеграл, а в правой части – интеграл Римана. В дальнейшем такое замечание, для сходящихся несобственных интегралов, становится излишним именно в связи с данным утверждением.