 |
|
Основные свойства несобственного интеграла.
А. Множество функций, интегрируемых на промежутке 
в несобственном смысле, образуют линейное пространство со стандартно введенными операциями сложения функций и умножения функции на число, а несобственный интеграл по этому промежутку является линейным функционалом на указанном линейном пространстве. Это значит, что:
1). 
;
2). 
, где значок 
означает: если интегралы стоящие в правой части существуют (сходятся) и конечны, то интеграл стоящий в левой части существует, конечен и равен указанной в левой части линейной комбинации.
Б. Монотонность.Несобственный интеграл есть монотонный функционал на 
;
Т°.Несобственный интеграл от неотрицательной функции неотрицателен, т.е.
.
D 
Þ 
Þ
. ▲
Отсюда следует собственно монотонность несобственного интеграла:
.
В. Интегрируемость по подпромежутку. 
.
Г. Аддитивность. 
.
Д. Формула Ньютона–Лейбница.Рассмотрим функцию 
. Тогда
1) F – непрерывна на . 2) F – дифференцируема п. в. на .
3) 
, исключая не более чем счетное множество точек.
Тогда для несобственного интеграла справедлива формула, аналогичная формуле Ньютона–Лейбница для определенного интеграла: 
.
Е. Формула интегрирования по частям. Пусть 
дифференцируемы на 
, причем, хотя бы одна из них непрерывно дифференцируема, то: 
.
Ж. Замена переменной в несобственном интеграле.Еслифункция 
непрерывно дифференцируема и строго монотонна, то
.
З. Необходимое, но недостаточное условие сходимости несобственного интеграла.
Для сходимости интеграла необходимо, чтобы интегралы по всем конечным подпромежуткам промежутка интегрирования существовали и были конечны. Однако выполнение такого условия недостаточно для сходимости интеграла. Если ввести в рассмотрение функцию 
, то сходимость интеграла означает 
.
Пример. 
существует для любого конечного промежутка 
, но 
=
= 
= 
= 
. Однако последний предел не существует и, следовательно, 
.
И. Несобственно интегрируемая функция должна быть непрерывна п. в. на .
Если 
, то она непрерывна на почти всюду.
К. Если 
п.в. на и 
существует, то он равен нулю.