 |
|
Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.
Не ограничивая общности, можно считать знакопостоянный ряд знакоположительным. Рассмотрим ряд 
. Последовательность 
для ряда называется последовательностью Коши.
Признак Коши: Для ряда если 
, то ряд сходится, а если 
, то ряд расходится. При q = 1 признак Коши на вопрос о сходимости не отвечает.
Предельная форма признака Коши:Если 
, то при 
ряд сходится, при 
ряд расходится, при 
ответа на вопрос о сходимости нет.
Δ. Пусть 
, тогда с некоторого номера 
Þ 
, ряд 
– сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), следовательно 
также сходится. Если же 
, тогда при достаточно больших n 
и общий член ряда не стремится к нулю. Ряд расходится. ▲
Признак ДАламбера и его предельная форма.
Последовательность 
для ряда называется последовательностью Даламбера.
Признак Даламбера:Если для ряда 
существует 
, то при ряд сходится, при ряд расходится, а при вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Предельная форма признака Даламбера: Если для ряда существует 
, то при ряд сходится, при ряд расходится, а при вопрос о сходимости ряда с помощью признака Даламбера не может быть решен..
Δ 
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
. Последнее неравенство говорит о том, что исходный ряд мажорируется бесконечно убывающей геометрическойц прогрессией и, следовательно, сходится. Если 
Þ 
, и ряд расходится т. к. 
не стремится к нулю. ▲
Примеры
а). 
. Признак Даламбера. Ряд расходится.
б). 
Признак Даламбера. Ряд сходится.
в). 
Признак Коши.
= 
Þ 
Þ
. Ряд сходится.
г). 
. Признак Коши. Ряд сходится.
д). 
Признак Даламбера.
е). 
. И признак Коши, и признак Даламбера ответа на вопрос о сходимости ряда ответа не дают. 
Нужны более сильные признаки. Расходимость этого (гармонического) ряда ранее была показана с помощью критерия Коши.
Признак РаАбе.
Последовательность 
для ряда называется последовательностью Раабе.
Признак Раабе:Если при достаточно больших n выполняется неравенство 
, то ряд сходится, а в случае 
ряд расходится.
Предельная форма признака Раабе: Если существует 
(конечный или нет), то при 
ряд сходится, а при 
расходится.
Δ Пусть 
Þ 
.
Выберем S, такое, что 1< S < r. Тогда т.к. 
, то 
Þ
и, следовательно, 
. Тогда : из признака Даламбера для сходящегося ряда 
(при S >1), следует, что 
. Значит 
и, по признаку Даламбера, ряд 
– сходится.
Если 
Þ 
и, так как ряд 
расходится, то и ряд расходится. ▲
· Для примера рассмотрим ряд: 
.
Для него: 
– ряд сходится.
Признак Куммера.
Признак Куммера – весьма общий признак. Это скорее не признак, а схема для получения различных, конкретных признаков. Пусть 
– произвольная последовательность положительных чисел таких, что 
- расходится. Последовательностью Куммера для ряда 
назовем последовательность 
.
Признак Куммера:
Если 
, то ряд сходится, а если 
, то ряд - расходится.
Предельная форма признака Куммера: Если 
, то при 
ряд сходится, а при 
ряд расходится.
Δ. Пусть 
Þ 
Þ 
.
Значит последовательность 
монотонно убывает и ограничена т. е. имеет предел. Тогда ряд 
сходится, т. к. его частная сумма: 
имеет предел.
Но из неравенства 
следует, что ряд сходится. ▲
Теперь: а). Положим 
. Тогда: 
Þ Для сходимости ряда необходимо, чтобы 
. Получен признак Даламбера.
б). Положим 
. Тогда 
Þ Для сходимости ряда необходимо, чтобы 
. Получен признак Раабе.
в). Положим 
. Тогда: 
= 
= 
. Здесь 
– последовательность Бертрана, и мы получаем
Признак Бертрана :Если
(конечный или нет)и
, то при b >1 ряд сходится, а при b <1 ряд расходится.
Из признаков Даламбера, Раабе, Бертрана следует признак Гаусса:
Если для ряда 
верно, что 
, где λ, μ – постоянные, а 
– ограниченная величина, то тогда: ряд сходится если λ > 1 или λ = 1, μ > 1,
ряд расходится если λ < 1 или λ=1 μ 
1.