Б). Признаки Абеля и Дирихле. ⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9
Изучается сходимость рядов вида . Обозначая = , проделаем следующее преобразование, которое принято называть преобразованием Лапласа. = = = = = .
Проделав такое преобразование, запишем: (*)
Признаки Абеля и Дирихле сходимости рядов вида : Пусть: Абеля: Последовательность {bn} монотонна и ограничена, а ряд сходится. Дирихле: Последовательность {bn} монотонно стремится к нулю, а частные суммы ряда ограничены в совокупность. Тогда:ряд сходится, вообще говоря, условно. Δ. + + . Внизу, на месте индексов, в выражениях написаны оценки, следующие из условий признака Дирихле. Ряд сходится. Признак Дирихле доказан. Запишем ряд в виде , где , т.к. – монотонна и ограничена, из условий признака Абеля. Тогда сходится по условию, а сходится по Дирихле. Ряд сходится. Признак Абеля доказан. ▲ Интересная особенность: Признак Дирихле доказан с помощью преобразования Абеля, а признак Абеля доказан с помощью признака Дирихле.
Пример: а). Исследовать ряд на сходимость: . Последовательность и монотонна. = = = = = = . Тогда , т.е. частные суммы ряда ограничены. Ряд сходится по Дирихле, вообще говоря, условно. Самое время поставить вопрос о абсолютной сходимости ряда. Рассмотрим . Первый из полученных рядов расходится по мажорантному признаку, т.к. . Второй из полученных рядов сходится по Дирихле (аналогично исходному ряду). Таким образом, ряд – расходится. Исходный ряд не сходится абсолютно, но сходится. Следовательно, ряд условно. б). Исследовать на сходимость ряд . Прежде всего, обратим внимание на следующее ошибочное рассуждение: Т.к. при , то . По асимптотическому признаку одновременной сходимости – расходимости рядов, ряды с эквивалентными членами сходятся или расходятся одновременно. В предыдущем примере показана сходимость ряда . Следовательно, сходится и ряд . Ошибочность этого рассуждения заключается в том, что асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости рядов применим только к знакопостоянным рядам, а исходный ряд таковым не является. И, тем не менее, исходный ряд сходится, что легко установить. Ряд сходится, как было установлено в предыдущем примере. А последовательность ограничена и монотонно стремится к единице. Ряд сходится по признаку Абеля.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|