Связь между рядами и бесконечными произведениями.

РАЗДЕЛ 6. Бесконечные произведения.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Def: Конструкция вида , где (или ) называется бесконечным произведением. При этом, – общий член произведения, а

– частичные произведения.

Def: Если , то бесконечное произведение называется “нулевым бесконечным произведением”.

Def: Если и и , то бесконечное произведение называется сходящимся к P.

Def: Если и то произведение называется расходящимся к нулю.

Рассмотрим и перейдём к пределу при . Если произведение сходится то:

Получили: необходимое условие сходимости бесконечного произведения:

*. Если бесконечное произведение сходится, то его общий член стремится к единице.

Примеры:

1°. . Частичные произведения , однако при этом не стремится к единице. Не выполнено необходимое условие сходимости бесконечного произведения, хотя . Этот пример поясняет термин: «произведение расходится к нулю».

2°. . Казалось бы: , но

Бесконечное произведение расходится, хотя при , т.е. стремление к единице общего члена произведения, есть только необходимое, но не достаточное условие сходимости.

*. Каждому бесконечному произведению можно поставить в соответствие последовательность его частичных произведений и, наоборот:

Причём последовательность и произведение сходятся или расходятся одновременно (по определению), за исключением произведений расходящихся к нулю.

Достаточное условие сходимости бесконечного произведения.

· Если ряды и – сходятся, то сходится и бесконечное произведение .

∆ Т.к. сходится то . Тогда Þ

и, значит, и сходятся или расходятся одновременно но сходится – сходится.

Тогда

Þ и - сходится. ▲

Замечание:Существуют бесконечные произведения, для которых и –

расходятся, но – сходится, т.е. теорема представляет собой только достаточное, но не необходимое условие сходимости. Здесь привести такой пример.

Связь между рядами и бесконечными произведениями.

Записывая очевидное равенство: , приходим к выводу о том, что и сходятся и расходятся одновременно .

Def: Бесконечное произведение называется сходящимся абсолютно или условно, если абсолютно или условно, соответственно, сходится ряд .

Примеры:

1°. Рассмотрим . Для его частичных произведений, получим:

= = =

= = .

Бесконечное произведение сходится, по определению.

2°. Рассмотрим . Для его частичных произведений, получим:

= = .

Произведение сходится, если . При этом .

§. Разложение sin x и cos x в бесконечное произведение.

Запишем формулу Муавра и возьмём мнимую часть от правой и левой части равенства:

= = …

Отметим что при четных слагаемые в сумме вещественны и, следовательно, нас не интересуют, а при нечетных слагаемые чисто мнимые и, поэтому, положив , продолжим выкладку: … = =

= = .

т.е. .

Разложив , где –корни полинома , и отметив что, если , то z -корень Þ , k = 1,2,…,n. Константа . Учитывая, что делаем заключение: .

Положим и тогда, при фиксированном k :

Тогда:

= .

Чтобы рассмотреть вспомним неравенство .

Тогда: и .

Следовательно: = .

Таким образом: (*)

Бесконечное произведение сходится, ибо сходится ряд . (Здесь выбрано так, чтобы ). Поэтому остаточное произведение должно стремиться к единице при . Очевидно, мы лишь усилим неравенство (*), если напишем: .

Переходя к пределу при и при фиксированном , получаем: . И, следовательно, . Мы приходим к разложению в бесконечное произведение, впервые полученное Эйлером: .