 |
|
РАЗДЕЛ 9. Дифференцирование функций
Многих переменных.
Частные производные и частные дифференциалы.
Задана функция 
переменных 
. Частными приращениями функции называются: 
.
Частной производной функции по переменной 
называется: 
.
Обозначения для частных производных:
Вычисление частной производной по переменной 
производится как обычно и, при этом все переменные, кроме , считаются постоянными.
Примеры.
10. 
; Тогда 
20. 
; 
30. 
Þ 
;
; 
.
Дифференцируемые функции. Дифференциал.
Т0. Если для функции 
существуют частные производные 
в некоторой окрестности точки Р0, и непрерывны в Р0, то 
, где 
- бесконечно малые величины.
Δ. 
=
= 
+
+ 
+
+ 
. Имеем сумму частных приращений. По формуле конечных приращений для функции одного переменного получаем: =
= 
.
При 
получим:
. ▲.
Def: Функция называется дифференцируемой в точке Р0, если возможно представление: 
, (*)
где 
– константы, а 
при 
. Полагая в (*) (если оно выполнено) все 
, кроме 
, получим:
Þ 
.
Отсюда запишем: для функции дифференцируемой в Р0:
.
Def: Главная линейная часть приращения 
называется дифференциалом функции в точке Р0 и обозначается
,
а величины 
называются частными дифференциалами.
Если дифференцируема, то
Тогда 
Для независимых переменных 
и 
.
Пример. 
.
Пример (контрпример).
Δ. Рассмотрим 
; Мы уже рассматривали эту функцию и установили, что в Р0(0, 0) она непрерывна. Далее: 
.
Так как 
, то 
и, следовательно, функция 
имеет в (0,0) частные производные.
Однако, формула 
не имеет места.
В самом деле: 
и 
не стремится к 0. Связано это с тем, что 
в точке Р0 не являются непрерывными:
и,кроме того, 
. ▲
Производная сложной функции.
Т0. Если – функция дифференцируемая в точке Р0 и функции 
дифференцируемы в t0 , то функция 
дифференцируема в точке t0 и
.
Δ. 
=
= 
= 
.
Это и доказывает дифференцируемость функции и
. ▲
Без труда можно доказать и формулы для дифференцирования сложной функции и в более общем случае:
Пусть 
и 
. Тогда для 
справедливо: 
.
Примеры.
10.Пусть 
и 
. Найти 
и 
.
; 
.
20. (контрпример).Пусть 
и 
. Найти 
.
а) 
; б) 
Þ 
.
Получили результаты, противоречащие один другому. Этот случай показывает, что формула производной сложной функции в этом случае не работает.
NB. Оказывается существование частных производных недостаточно для дифференцируемости (хотя наоборот верно). Дифференцируемость более жесткое требование, чем существование частных производных.