 |
|
Достаточные условия экстремума.
Пусть 
определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядка в некоторой окрестности стационарной точки 
. Тогда:
Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки.
= 
.
(При этом 
. 
– вычислены в точке 
, 
.
Обозначая 
, получим 
, где
при 
, и, следовательно,
.
В силу того, что второе слагаемое в скобках бесконечно мало по сравнению с первым, знак приращения 
определяется знаком второго дифференциала функции (если он не обращается в нуль). Следовательно от знака второго дифференциала зависит наличие экстремума функции в исследуемой точке.
В алгебре:
Def. Вещественно значная функция векторного аргумента 
называется квадратичной формой, а квадратная матрица 
– матрицей квадратичной формы.
Из определения квадратичной формы ясно, что второй дифференциал функции является квадратичной формой 
, матрица которой состоит из 
От свойств этой квадратичной формы и зависит имеет ли функция экстремум в рассматриваемой точке или нет.
Def. Квадратичная форма 
называется положительно определённой, если она принимает положительные значения при всех значениях аргументов, не равных нулю одновременно. 
, причем 
.
Def. Квадратичная форма 
называется отрицательно определённой, если 
.
Def. Квадратичная форма называется полуопределённой, если 
(или ).
Def. Квадратичная форма называется неопределённой, если
и 
.
Критерий Сильвестра : Для того чтобы квадратичная форма была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой необходимо и достаточно чтобы главные миноры матрицы квадратичной формы чередовались по знаку начиная с минуса: 
Если миноры будут ++++… или –+–+… но среди них встречаются нулевые то форма будет полуопределённой. Δ▲.
Пример: Форма 
имеет матрицу:
А= 
. Ее миноры: 
Все миноры положительны, форма положительно определена . В самом деле, нетрудно проверить, что: 
.
Т°.Если квадратичная форма 
т.е. второй дифференциал функции,
будет положительно определённой то функция, в испытуемой точке, функция будет иметь минимум; если отрицательно определённой то функция будет иметь максимум.
Если форма полуопределена, то для ответа на вопрос о экстремуме функции требуется привлечение производных более высокого порядка. Во всех остальных случаях – экстремума нет. Δ▲.
Примеры:
1°. Исследовать на экстремум функцию: 
Необходимые условия экстремума: 
.
Достаточные условия экстремума: составим матрицу из вторых производных:
.
Главные миноры положительны, значит второй дифференциал положителен: 
Функция в точке (0,0) имеет минимум. Впрочем, это ясно если построить линии
уровня функции, u = const: 
(эллипсы). Функция 
задает эллиптический параболоид.
2°. 
Необходимые условия экстремума: 
Достаточные условия экстремума: 
Þ 
. Второй дифференциал – полуопределён. Обратим внимание на то,что:
при этом ясно, что на линии 
функция равна нулю, а вне этой линии u > 0. (параболический цилиндр).