Наибольшие и наименьшие значения функции
В замкнутой области.
Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. По теореме Вейерштрасса, функция в этой области достигает наибольшего и наименьшего значения. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области D нужно найти все внутренние точки D «подозрительные» на экстремум и сравнить со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее (наименьшее) из этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в области. Примеры: 1°.Найти наибольшее значение функции в треугольнике: . Получаем: . Внутри области обращаются в ноль только в точке На границах области функция u = 0. Наибольшее значение функции u(x,y):
20. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: при условии .
а). Из условия: и, исключая из переменную получим: . Сформулируем новую задачу: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в круге x2 + y2 1. ; . Из необходимых условий следует, что: а1). x = 0, y = 0; ( = 0); а2). x = 0, y = ; ( = 0,25); а3). y = 0; x = ( = 1); а4) . Последняя система, очевидно, решений не имеет.
б).Теперь надо посмотреть функцию на границе области, т. е. когда: x2 + y2 = 1 Þ y2 = 1 – x2 Þ для . Для нее: и, следовательно : б1). x = 0; ( = 0) б2). x = ; ( = 0,25).
в). И, наконец, надо посмотреть точки x = ±1 при этом в1). x = ± 1, ( = 0).
Вывод: наибольшее значение функции в области = = 1, наименьшее значение = = = = 0.
3°. Для функции одного переменного, если внутри промежутка имелось только одна точка локального экстремума, то в ней обязательно достигалось наименьшее либо наибольшее значение. Для функций многих переменных это, вообще говоря, не так. Δ. Для примера рассмотрим функцию в прямоугольнике: . Необходимые условия экстремума: , . Отсюда следует: а1). x = 0, y = 0. а2). x = 2, y = 2 – не принадлежат прямоугольнику. Достаточное условие экстремума в точке (0,0): = , D1 = – 8; D2 = 12. Функция в D имеет локальный максимум. И, при этом, . Однако это значение не является наибольшим в области, ибо: . ▲
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|