Метод неопределенных множителей Лагранжа. ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Постановка задачи:Требуется найти экстремумы функции в предположении, что аргументы функции подчиняются m уравнениям связи: (*) Def. Функция имеет условный экстремум в , удовлетворяющей условиям связи (*), если в некоторой окрестности точки M0 для всех ее точек удовлетворяющих уравнениям связи (*) выполняется неравенство: (для максимума), (для минимума).
Мы уже, по сути, решали такую задачу, когда из уравнений связи можно было найти отдельные переменные и, в последующем, исключать их из рассмотрения. В общем случае это удается сделать далеко не всегда. Лагранж предложил метод нахождения экстремума функции , при наличии условий связи: , где . Cоставим функцию (называемую функцией Лагранжа) : ; *).Необходимые условия условного экстремума функции с условиями связи (*) совпадают c необходимыми условиями экстремума (обычного) функции . т.е. ; . *). Достаточные условия условного экстремума функции это достаточные условия экстремума функции где – значения параметров в критической точке, т.е. фиксированы.
Пример: 1°.Найти экстремум функции , если . Мы уже рассматривали эту задачу ранее и, при этом, выражали через . Если это невозможно сделать, выход из положения предлагает метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа для решения задачи на условный экстремум: . Условный экстремум функции совпадает с обычным экстремумом функции Лагранжа . Необходимые условия экстремума: ; ; . Решая эту систему, найдем стационарные точки: 1). и 2). . В каждой из этих точек модифицируем функцию Лагранжа, подставляя соответствующее значение и проверим достаточные условия экстремума, составляя в найденных точках соответствующие матрицы из вторых производных. 1). 2). Учитывая что: ; ; , запишем матрицы из вторых производных для каждой из стационарных точек и проверим достаточные условия экстремума: 1). . . Экстремума нет. 2). . . Экстремума нет. Вывод: Данная функция условных экстремумов не имеет.
2°.Найти экстремум функции , если . На первом этапе решения задачи составим функцию Лагранжа: . Необходимые условия экстремума этой функции имеют вид: ; ; ; . Из первых трех уравнений следует, что: . Подставляя в четвертое уравнение, находим x, а затем, из полученных выше соотношений, находим и . Получаем две стационарные точки: . Далее для каждой стационарной точки составляем модифицированную функцию Лагранжа. Для точки : . Составляя матрицу из вторых производных, получаем: . Ее главные миноры чередуются по знаку, начиная с минуса. Следовательно, второй дифференциал модифицированной функции Лагранжа отрицателен и исходная функция в точке имеет условный максимум. Для точки : . Составляя матрицу из вторых производных, получаем: . Все ее главные миноры положительны. Следовательно, второй дифференциал модифицированной функции Лагранжа положителен и исходная функция в точке имеет условный минимум. 2°.Найти наибольшееи наименьшее значение функции , при условии . В этой задаче задано, не ограничение типа «равенство», как в предыдущей, а ограничение типа «неравенство». Поэтому задача решается в два шага. а).Найдем экстремумы исходной функции в заданной области. Из необходимых условий экстремума функции следует: . Матрица из вторых производных имеет положительные главные миноры, положительный второй дифференциал и, следовательно, минимум в точке (6,–8). Этот факт, однако, нас совершенно не волнует, ибо точка (6,–8) не входит в рассматриваемую область. б).Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения исходной функции на границе области. Т.е. найдем наибольшееи наименьшее значение функции при условии . Теперь ограничение типа «неравенство», заменилось на ограничение типа «равенство» и, следовательно, имеем классическую задачу на условный экстремум. Составляем функцию Лагранжа данной задачи: . Необходимые условия экстремума: . Находя из этих соотношений , получаем две стационарные точки: и . Безусловно, можно установить характер экстремума в этих точках, однако, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в этом нет никакой необходимости. Достаточно просто вычислить значения функции в найденных точках. Получаем и .
3°.Найти экстремум функции , при условии: и область изменения переменных: x > 0, y > 0, z > 0, t > 0. а). Функция Лагранжа: . б). Необходимые условия экстремума функции Лагранжа: ; ; ; ; . Отсюда: Þ Þ . в) Преобразуем функцию Лагранжа, зафиксировав . . г). Для функции построим матрицу из вторых производных в окрестности точки : и, т.к. D1 = 0 то критерий Сильвестра ответа на вопрос о экстремуме не дает. При этом: . Находя дифференциал из уравнения связи, получаем: , что в окрестности особой точки равно: . Подставляя в , получаем: = = = = . Ясно, что представляет собой положительно определенную квадратичную форму. В точке исходная функция имеет условный минимум.
4°.Исследовать на наибольшее и наименьшее значение функцию: , при условии . а). Функция Лагранжа: б). Необходимые условия экстремума функции Лагранжа: ; ; ; . в). Решения этой системы: *1. ; *2. ; *3. ; *4. ; *5. ; *6. . *7. Если , то должны одновременно выполняться равенства: ; ; , что невозможно. Вычисляя значения функции в найденных точках, находим наибольшее и наименьшее ее значения, при условии . Обращаем внимание на то, что устанавливать имеется ли в критических точках экстремум, и каков характер этого экстремума (т.е. проверять достаточные условия) при решении задачи о наибольшем и наименьшем значении функции нет никакой необходимости. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|