 |
|
Свойства кратных интегралов.
1°. Линейность: Множество RM функций интегрируемых на множестве М –линейное
пространство, а 
– линейный функционал.
.
2°. Условие нормировки: 
. Другая форма записи 
по сути дела определяет меру произвольного множества из евклидового пространства.
3°. Если интеграл по множеству Лебеговой меры ноль существует, то он
равен нулю.
Примечание: Множество М называется множеством Лебеговой меры ноль,
если 
такие, что 
и 
.
4°. а. 
; б. 
;
в. если 
и 
– отделена от нуля на М, то 
5°. и f = g п.в. (почти всюду) на М, то 
.
6°. Аддитивность: Если 
и 
то
,
В общем случае: 
.
Δ. Следует из равенства: 
▲
7°. Монотонность: 
и 
то 
.
8°. Интегрирование неравенств: если 
и 
то
.
9°. Пусть 
. Для того чтобы 
, необходимо и достаточно чтобы существовала внутренняя точка множества М, в которой f (x) > 0 и непрерывна.
10°. Интегрируемость модуля интегрируемой функции: 
.
11°. Теорема о среднем: , 
на М сохраняет знак и 
, то
.
Если множество М – связно и f (x) – непрерывна на 
то 
такое, что 
.
12°. Для того чтобы интеграл от неотрицательной функции был равен 0
необходимо и достаточно, чтобы f (x) = 0 почти всюду на М.
13°. Теорема Фубини. Для двойного интеграла:
Пусть область 
– прямоугольник: 
. Тогда, при условии существования внутренних однократных интегралов, для нахождения двойного интеграла можно перейти к повторному интегрированию (см. рис. а):
, или
.
Если область интегрирования не прямоугольник, теорема Фубини все равно справедлива и имеет вид (см. рис. б): 
. (*)
Примечание:Внешние пределы интегрирования должны быть константами, внутренние пределы интегрирования могут зависеть от переменной, по которой интегрирование ещё предстоит.
Формула (*) может быть получена с использованием характеристической функции множества D.
Для многократного интеграла:
Пусть 
и 
некоторые подмножества евклидовых пространств 
и 
. Определим декартово произведение этих множеств, являющееся подмножеством евклидового пространства 
: 
.
Тогда теорема Фубини для 
имеет вид: 
.
Теорема справедлива и для брусов X и Y, и для более сложных конфигураций.
Примеры:
10. Вычислить 
, если граница области задана уравнениями:
. Находя точки пересечения кривых определяющих границу области, получаем две точки : 
и 
. Тогда возможная расстановка пределов интегрирования при переходе к повторным интегралам дает:
а). 
;
б). 
.
20. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: 
.
–
.
Рецепт: При расстановке пределов интегрирования в двойном интеграле рекомендуется начинать с внешних пределов интегрирования .
30. Вычислить: 
, если 
Переход к повторным интегралам даёт: 
.
При этом, в тройном интеграле расстановку пределов надо начинать с внутренних пределов интегрирования. Затем спроецировать область V на плоскость xOy
расставив пределы в области D – лежащей в плоскости xOy.
40. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: 
.
а). 
;
б). 
.