ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ.
10.В одинарном интеграле: . 20.В двойном интеграле: . 30.В тройном интеграле: = = . 40.В кратном интеграле: если , , и , то . Примеры: 10. Вычислить двойной интеграл: . Область интегрирования – круг единичного радиуса с центром в начале координат. a). В декартовой системе координат: . Недостатки: пределы интегрирования не красивые и, кроме того, интеграл не выражается через элементарные функции. б). В полярной системе координат: . При переходе в полярную систему координат не только получился повторный интеграл с удобными пределами интегрирования, но, с учетом того, что внутренний интеграл не зависит от получилось даже произведение двух интегралов Римана.
20. Вычислить , если область D – замкнутая часть плоскости ограниченная кривыми: {y = 2x; y = 4x; xy = 1; xy = 3}. a). Расставлять пределы интегрирования в декартовой системе координат расставлять очень не удобно. Поэтому сделаем по другому. б). Сделаем замену переменных: u = xy, v = ; 1 ≤ u ≤ 3, 2 ≤ v ≤ 4. Для выполнения замены переменных необходимо найти якобиан . Однако находить его неудобно. Поэтому воспользуемся соотношением: . Тогда . Якобиан положителен, следовательно, ориентация двух систем координат совпадает. И далее: =…
30. Вычислить интеграл . I = Þ . Для нахождения полученного двойного интеграла перейдем в полярную систему координат. = . Тогда: . Пример показывает что не только двойной интеграл вычисляется с помощью перехода к повторным, но и наоборот.
§. Криволинейные интегралы 1го рода. Def : Если в Е3 задана вектор-функция , и при этом x(t), y(t), z(t) C[a,b], C1[a,b] , то говорят, что в Е3 задана гладкая кривая L.
Пусть на кривой L задана скалярная функция f (x,y,z). Замечание: Если t1, t2 такие, что x(t1) = x(t2), y(t1) = y(t2), z(t1) = z(t2), то кривая L имеет самопересечение, но, при этом f (x(t1), y(t1), z(t1)) не обязательно совпадает с f (x(t2), y(t2), z(t2)), поэтому, записывая f (x,y,z) мы будем иметь в виду f (x(t), y(t), z(t)).
Рассмотрим промежуток [a,b] изменения параметра t , и на [a,b] зададим разбиение P с отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ). Разбиение (Р,ξ) отрезка [a,b] индуцирует разбиение кривой L с отмеченными точками.
Рассмотрим: , где – длина хорды, соединяющей концы соответствующего участка кривой. Если такой предел существует и конечен, то он называется криволинейным интегралом 1го рода , и обозначается . Физический смысл криволинейного интеграла 1го рода – масса кривой L с линейной плотностью масс f (x, y, z). Для нахождения элемента длины дуги будут полезны следующие формулы: 10. Для плоской кривой, заданной в декартовых координатах: dl = (по теореме Пифагора, см. рис. а). В частных случаях различных способов задания кривой L получаем: 1а. Если y = y(x), то dl = ; 1б. Если x = x(y), то dl = ; 1в. Если x = x(t), y = y(t), то dl = ; 20. Для плоской кривой, заданной в полярных координатах x = ρcosφ, y = ρsinφ: dl = . Формула эта может быть получена и непосредственно из криволинейного треугольника (см. рис. б). 2а. Если , то dl = ; 2б. Если , то dl = ; 2в. Если , то dl = ; 30. Для пространственной кривой, заданной в декартовых координатах: dl = . 3а. Если , то dl = ;
40. Если f (x, y, z) = 1 то криволинейный интеграл 1го рода численно равен длине кривой и кривая называется спрямляемой. 50. Криволинейный интеграл 1го рода может быть сведен к обычному интегралу Римана. Пусть . Тогда . При этом . Формула следует из определения.
40. Криволинейный интеграл 1го рода не зависит от направления интегрирования: .
Примеры: 10.Вычислить: J= , где кривая L: . Параметрическое уравнение эллипса: Þ dl = . Эллипс пробегается противчасовой стрелки, хотя это указывать не обязательно. И тогда: J = = = = .
20.Найти массу кривой L : y = ln x для , если ρ = x2 линейная плотность кривой . M = = = = . 30.Найти силу притяжения точки А массы mоднородной полуокружностью радиуса Rс центром в точке А. ( ). Отметим, что сила притяжения это вектор , который из соображений симметрии направлен вверх. Найдем Fy (т.к. Fx = 0). dFy = , где G – гравитационная постоянная, dl = R dφ; Следовательно: Fy = .
§. Криволинейные интегралы 2го рода. Def : Пусть в Е3 задана вектор-функция , и при этом x(t), y(t), z(t) C[a,b], C1[a,b] , т.е. в Е3 задана гладкая кривая L. Пусть на кривой L задана векторная функция: . Рассмотрим промежуток [a,b] изменения параметра t , и на [a,b] зададим разбиение P с отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ). Разбиение (Р,ξ) отрезка [a,b] индуцирует разбиение кривой L с отмеченными точками. И рассмотрим: . Если такой предел существует, то он называется криволинейным интегралом 2го рода и обозначается: .
Геометрический смысл криволинейного интеграла 2го рода – работа силового поля вдоль кривой L.
10.Если , и при этом x(t), y(t), z(t) C[a,b], C1[a,b] , = = .
Эта формула дает способ вычисления криволинейного интеграла 2го рода сведением к интегралу Римана, и следует из определения, в котором в левой части фактически записана интегральная сумма для интеграла стоящего в правой части.
20.Формула для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода: . Здесь – единичный вектор касательной к кривой, а – его направляющие косинусы. 30. . 40. Формула Грина. Пусть G – плоская область и γ – кусочногладкий контур, являющийся границей области G. Пусть в заданы P(x,y) и Q(x,y), непрерывные в G вместе с и . Тогда: . Замечание: γ+ - означает, что контур γ проходится в положительном направлении – т.е. против часовой стрелки (при обходе контура левая рука все время находится в области.
Δ. Рассмотрим: = . Здесь учтено, что интегралы и равны нулю из-за того, что на промежутках BC и DA . Таким образом: = . Аналогично: = . После сложения двух полученных формул, получаем доказываемую формулу. ▲
Примеры : 10. Вычислить , если кривая L соединяет точки от (0,0) до (1,1). a. y = x ; б. y = x2; в. x = y2 . а). J = . б). J = . в). J = . Выясняется, что интегралы получаются разные, т.е. значение интеграла зависит не только от начальной и конечной точек кривой, но и от самой кривой L. 20. Вычислить вдоль тех же кривых, что и в предыдущей задаче. a) J = . б) J = . в) J = . а в данной задаче на всех трех исследованных путях результат один и тот же. Это не означает, что и на других путях так будет, но… г) Рассмотрим J = . Проведенная выкладка показывает, что интеграл действительно не зависит от пути интегрирования (здесь нет никакого конкретного пути), а зависит только от начальной и конечной точки дуги. Когда же будет наблюдаться такое явление?
§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|