Задача о нахождении площади поверхности.
“Сапог Шварца”. При рассмотрении длины кривой мы фактически определили длину кривой как предел длины вписанной в кривую ломанной, когда максимальная длина звена ломаной стремится к нулю. Казалось бы, что при решении задачи о площади поверхности логично ее определить как предел площади вписанного многогранника. Однако следующий пример показывает, что такой подход здесь не срабатывает. Рассмотрим прямой круговой цилиндр высоты Н и с радиусом основания R. Разобьем его на m цилиндров высоты . Каждую окружность разобьем на n частей и впишем в них правильные n-угольники. Причем точки деления вышележащих окружностей лежат над серединами дуг нижней окружности. Соединим отрезками соседние вершины смежных по вертикали n-угольников. Так построенный многогранник, вписанный в цилиндр называется « сапогом Шварца». Вычислим площадь « сапога Шварца». . Тогда: . Устремим . Получим . Предел этого выражения зависит от отношения и, следовательно, не существует.
§. Поверхностные интегралы 1-го рода. Пусть вЕ3 задана поверхность : ; , и на поверхности S задана функция . Проводя в области координатные линии и , получим в области разбиение . В каждом элементе разбиения отметим точку . Разбиение с отмеченными точками индуцирует на также разбиение с отмеченными точками . В каждый отмеченной точке построим касательную плоскость к поверхности. Заменим поверхность на чешуйчатую поверхность, состоящую из кусочков касательных плоскостей. Рассмотрим: . Здесь – координаты отмеченной точки, – скалярный элемент площади. Если такой предел существует, то он называется поверхностным интегралом 1-го рода и обозначается . . Физический смыслповерхностного интеграла 1-го рода –масса поверхности S с поверхностной плотностью .
Свойства: 1°. Условие нормировки: . Это условие обозначает, что поверхностный интеграл 1-го рода от единицы численно равен площади поверхности. 2°. Интеграл не зависит от стороны двухсторонней поверхности, по которой идет интегрирование: . 3°. О нахождении : Þ Þ = .
Еще рассмотрим: . = = , Здесь: , , . Величина: называется первой квадратичной формой поверхности. Эта квадратичная форма положительно определена. Ее матрица: и, следовательно, по критерию Сильвестра: . Теперь отметим, что: и . Возведем оба соотношения в квадрат и сложим. Получим: . Тогда : .
4°. . .
Примеры вычисления поверхностных интегралов рода: 1°. Вычислить , где – часть поверхности параболоида , отсекаемая плоскостью . Δ. Запишем параметрическое уравнение заданной поверхности: . Находя вектор нормали к поверхности , можем найти и элемент поверхности Þ . Параллельно получена формулы нахождения и для для функции заданной явно: , . Тогда, вычисляя исходный интеграл, получаем: . Здесь – проекция поверхности интегрирования на плоскость , т.е. круг единичного радиуса. Переходя в полярную систему координат, вычисляем интеграл: . ▲ 2°. Вычислить , если S- граница тела: . Δ. Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому . Первый из этих интегралов – интеграл по кругу единичного радиуса и
. Для вычисления второго из интегралов запишем параметрическое уравнение конуса в виде: и векторный и скалярный элементы площади поверхности: и . Тогда для искомого интеграла получаем: = .▲ И, наконец, . 3°. Вычислить , если S – полусфера , . Δ. Параметрическое уравнение сферы радиуса а: . Тогда = = Þ Þ . Тогда: = = = 0.
§. Поверхностные интегралы 2 рода. 0 Пусть вЕ3 задана поверхность : ; , и на поверхности S задана вектор-функция и, при этом . Рассмотрим: . Если такой предел существует и конечен, то он называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается . Физический смыслповерхностного интеграла 2-го рода – поток векторного поля через поверхность S в направлении нормали, определяемой вектором , т.е. стороной поверхности. Собственно говоря, это и есть определение потока векторного поля через поверхность.
Свойстваповерхностного интеграла 2-го рода: 1°. Интеграл меняет знак при изменении стороны поверхности, по которой идет интегрирование: . 2°. Связь с поверхностным интегралом 1 рода. . Здесь единичный вектор нормали к поверхности; – направляющие косинусы нормали к поверхности; , , ; .
3°. Если помнить о том, что: , , , легко написать формулу для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода .
Примеры вычисления поверхностных интегралов 2 рода. 1°. Вычислить , где S – внешняя сторона сферы = Вектор нормали был найден в предыдущем параграфе, в примере 3°. . Знак в выражении для берем так, чтобы в 1 октанте координаты вектора были положительными (внешняя сторона). . Вектор . Тогда: = = . ▲
2°. Вычислить , если S- внешняя сторона конуса с крышкой z = 1.
Δ Поверхность интегрирования состоит из двух частей – боковой поверхности конуса и крышки. Поэтому: . а). Для вычисления первого из них, отметим что и, следовательно:
. б). Для вычисления второго из них, вспомним что для поверхности, заданной явно: . Знак выбран так, чтобы получить внешнюю нормаль к поверхности. Получаем: .
Таким образом .
Скалярные поля.
Пусть задана область в евклидовом пространстве и в задана функция . Тогда говорят, что в задано скалярное поле (синоним: функция трех переменных). Поверхности называются поверхностями уровня скалярного поля. Пусть задан вектор с известными направляющими косинусами . Производной скалярного поля по направлению называется величина: . Запишем параметрическое уравнение прямой : ; Тогда на этой прямой: и тогда: . Вводя вектор получим: . Из делаем вывод, что вектор указывает направление максимального роста поля и по величине равен скорости роста поля в этом направлении. Такое определение является инвариантным относительно системы координат.
Если для векторного поля существует скалярное поле такое, что то поле называется потенциальным полем а скалярное поле называется его потенциалом. Необходимое и достаточное условие потенциальности поля : .
Векторные поля. Пусть задана область в евклидовом пространстве , и в задана векторная функция . Тогда, говорят что в задано векторное поле. Def: Линии в пространстве в каждой точке которых векторное поле направлено по касательной к данной линии называется векторными линиями поля (силовыми линиями, линиями тока). Векторные линии можно найти исходя из системы дифференциальных уравнений векторных линий: , например для : Þ – прямые, проходящие через начало координат.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|