Здавалка
Главная | Обратная связь

Теорема Гаусса-Остроградского.



 

Пусть в замыкании области заданы функции непрерывные на вместе со своими производными . Тогда:

.

При этом, поверхность ориентирована наружу области .

 

∆. а) Рассмотрим :

.

Здесь учтено, что т.к. . Получено, что

.

б) и в) получаются аналогично:

, .

Складывая три полученные формулы, получим формулу Гаусса-Остроградского. ▲

Def: Величина для векторного поля называется дивергенцией векторного поля: ,

и теперь формулу Гаусса-Остроградского можно записать так: .

 

*. Рассмотрим в точку и – сферу радиуса с центром в точке . Найдем:

.

(Здесь, по ходу преобразований была применена теорема о среднем).

Следовательно: ,

 

т.е. дивергенция векторного поля есть мощность источника силовых линий поля , расположенного в точке . Это, инвариантное относительно системы координат, определение дивергенции.

И теорема Гаусса-Остроградского может быть сформулирована так, что будет ясен ее физический смысл:

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен суммарной мощности источников векторного поля расположенных внутри области.

Дивергенция – еще одна, скалярная, характеристика векторного поля.

 

Теорема Стокса.

 

Пусть в заданы функции , непрерывные вместе со своими первыми производными Пусть замкнутый контур в , а –поверхность в натянутая на контур , причем одинаково взаимно ориентированы. Тогда:

= =

= .

∆. Интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля.

а). Пусть .

б), в) Аналогично:

, .

Суммируя полученные три формулы, получаем формулу Стокса. ▲.

 

Def: Вектор с координатами называется ротором векторного поля . ,

и тогда формула Стокса запишется так: .

Рассмотрим , и , найдем:

следовательно:

Получили инвариантное относительно системы координат определение :

Проекция ротора векторного поля на вектор нормали к поверхности определяется пределом отношения циркуляции вдоль замкнутого контура к мере поверхности ограниченной данным контуром, когда контур стягивается в точку. И теорема Стокса:

Циркуляция векторного поля вдоль контура есть сумма циркуляций поля в точках расположенных на поверхности , краем которой является контур .







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.