Теорема Гаусса-Остроградского.
Пусть в замыкании области заданы функции непрерывные на вместе со своими производными . Тогда: . При этом, поверхность ориентирована наружу области .
∆. а) Рассмотрим : . Здесь учтено, что т.к. . Получено, что . б) и в) получаются аналогично: , . Складывая три полученные формулы, получим формулу Гаусса-Остроградского. ▲ Def: Величина для векторного поля называется дивергенцией векторного поля: , и теперь формулу Гаусса-Остроградского можно записать так: .
*. Рассмотрим в точку и – сферу радиуса с центром в точке . Найдем: . (Здесь, по ходу преобразований была применена теорема о среднем). Следовательно: ,
т.е. дивергенция векторного поля есть мощность источника силовых линий поля , расположенного в точке . Это, инвариантное относительно системы координат, определение дивергенции. И теорема Гаусса-Остроградского может быть сформулирована так, что будет ясен ее физический смысл: Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен суммарной мощности источников векторного поля расположенных внутри области. Дивергенция – еще одна, скалярная, характеристика векторного поля.
Теорема Стокса.
Пусть в заданы функции , непрерывные вместе со своими первыми производными Пусть замкнутый контур в , а –поверхность в натянутая на контур , причем одинаково взаимно ориентированы. Тогда: = = = . ∆. Интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля. а). Пусть . б), в) Аналогично: , . Суммируя полученные три формулы, получаем формулу Стокса. ▲.
Def: Вектор с координатами называется ротором векторного поля . , и тогда формула Стокса запишется так: . Рассмотрим , и , найдем: следовательно: Получили инвариантное относительно системы координат определение : Проекция ротора векторного поля на вектор нормали к поверхности определяется пределом отношения циркуляции вдоль замкнутого контура к мере поверхности ограниченной данным контуром, когда контур стягивается в точку. И теорема Стокса: Циркуляция векторного поля вдоль контура есть сумма циркуляций поля в точках расположенных на поверхности , краем которой является контур . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|