Коло змінного синусоїдного струму з ідеальною котушкою

Під ідеальною котушкою будемо розуміти таку, у якої активний опір дорівнює нулю. Включимо її в коло з ідеальним генератором синусоїдної е.р.с. (рис.3.12).

Г – генератор синусоїдної е.р.с.;

РА – амперметр;

К – котушка.

Складемо розрахункову схему кола, нехтуючи опором амперметра і з'єднувальних проводів: генератор виробляє синусоїдну е.р.с., змінний струм у котушці створює змінне магнітне поле (рис.3.13). Буде спостерігатися явище електромагнітної індукції (самоіндукції) і в котушці буде індуктуватися е.р.с. e_L (рис.3.14).

Запишемо рівняння електричної рівноваги кола за другим законом Кірхгофа:

e + e_L = 0, e = u, тоді u_L=– e_L.

(3.33) (3.34)

Е.р.с. самоіндукції, яка наводиться в котушці, залежить від кідькості витків
котушки w і швидкості зміни магнітного потоку:

(3.35)

З урахуванням (3.1) можемо записати:

(3.36)

Підставляємо (3.36) у (3.34) і одержуємо:

(3.37)

Отриманий вираз встановлює зв'язок між напругою і струмом в індуктивності.

Задамося струмом у колі

(3.38)

і знайдемо, якою повинна бути напруга на затисках генератора при такому струмі:

де

(3.39) (3.40)

Величину wL позначимо x_L і назвемо реактивним опором котушки, тобто

x_L = w×L.

(3.41)

Перевіримо одиницю цього опору:

Запишемо закон Ома для максимальних значень, виходячи з виразів (3.40) і (3.41) для ділянки кола з індуктивністю:

або

;

(3.42) (3.43)

Запишемо закон Ома для діючих значень:

; .	(3.44) (3.45)

Представимо графічно напругу і струм в індуктивності (рис.3.15).

Знайдемо кут зсуву фаз між напругою і струмом в індуктивності:

j = |y_u – y_i| = |0– (–90°)| = 90°.

Таким чином, струм в індуктивності відстає від напруги за фазою на кут 90°.

Знайдемо миттєву потужність в індуктивності:

де

(3.46) (3.47)

Величину Q_L назвали реактивною потужністю котушки, як одиницю
уведено:

[Q_L] = вар.

Активна потужність в індуктивності як середнє значення потужності за період:

(3.48)

Таким чином, енергія в індуктивності не виділяється у видгляді тепла, а відбувається обмін енергією між джерелом і приймачем.

Розглянемо цей процес на графіку (рис.3.15). У першу чверть періоду,
коли струм зростає, збільшується магнітний потік і магнітне поле накопичує енергію (позитивна заштрихована площа), миттєва потужність позитивна і спрямована від джерела до приймача. В другу чверть періоду, коли струм знижується, магнітний потік зменшується і магнітне поле віддає енергію джерелу (негативна заштрихована площа), миттєва потужність негативна і спрямована від приймача до джерела.

Таким чином, миттєва потужність коливається з подвійною частотою – за половину періоду струму миттєва потужність здійснює повне
коливання.

Приклад 3.7

До ідеальної котушки підведена напруга u_L = 141 sin (wt +73°) В.

Частота струму в мережі дорівнює 50 Гц. Індуктивність котушки дорівнює 12,7 мГн.

Виконати аналіз ділянки кола.

Рішення.

1. Визначаємо індуктивний опір котушки за (3.41):

х_L = 2p×50×12,7×10^–3 = 4 Ом.

2. Визначаємо амплітуду струму за (3.43):

3. Визначаємо початкову фазу струму:

y_i = y_u – 90 = 73 – 90 = –17°.

4. Записуємо миттєвий струм:

i = 35,25 sin (wt –17°) А.

5. Визначаємо діюче значення струму за (3.14):

6. Визначаємо реактивну потужність за (3.47):

Q_L = 4×25² = 2500 вар = 2,5 квар.

Запитання для самоконтролю

1. Опишіть фізичні явища, які спостерігаються в ідеальній котушці
в колі синусоїдного струму.

2. Складіть розрахункову схему кола з ідеальним генератором і ідеальною котушкою.

3. Запишіть математичний зв'язок між миттєвою напругою,
миттєвим струмом і індуктивністю в ідеальній котушці.

4. Поясніть фізичну суть індуктивного опору.
Як розрахувати індуктивний опір ідеальної котушки?

5. Сформулюйте і математично запишіть закон Ома для максимальних
і діючих значень напруги і струму на ділянці кола з індуктивністю.

6. Запишіть математичний вираз миттєвого струму в індуктивності,
прийнявши, що початкова фаза дорівнює нулю.

7. Запишіть математичний вираз миттєвої напруги на індуктивності
для зазначеного вище струму.

8. Побудуйте графічно оригінали миттєвої напруги і миттєвого струму
на ділянці кола з індуктивністю.

9. Зобразіть напругу і струм за допомогою векторів.

10. Чому дорівнює кут зсуву фаз в індуктивності?

11. Отримайте математичний вираз миттєвої потужності в індуктивності.
З якою частотою коливається миттєва потужність в індуктивності?

12. Чому дорівнює активна потужність в індуктивності?

13. Як розрахувати реактивну потужність в індуктивності? Укажіть її одиницю.

14. Поясніть фізичну суть реактивної потужності в індуктивності.

Завдання для самоконтролю

До ідеальної котушки підведена напруга u_L = 141sin (wt + 73°) В.
Індуктивність котушки дорівнює 25,4 мГн.
Частота струму в колі f = 50 Гц.

1. Знайти реактивний опір котушки.

2. Записати миттєве значення струму.

3. Знайти реактивну потужність.

4. Записати вираз миттєвої потужності в індуктивності.

5. Зобразити графічно миттєвий струм і миттєву потужність у функції wt.

3.4. Коло змінного синусоїдного струму
з ідеальним конденсатором

Під ідеальним конденсатором будемо розуміти такий, у якого активний
опір дорівнює нескінченності. Включимо його в коло з ідеальним генератором (рис.3.16).

Г – генератор;

РА – амперметр;

С – конденсатор.

Складемо розрахункову схему кола,
прийнявши, що опори амперметра і з'єднувальних проводів дорівнюють нулю: генератор виробляє синусоїдну е.р.с., змінний струм у колі створює змінне електричне поле в конденсаторі (рис.3.17).

Напруга на ємності

u_с= e.

(3.49)

Задамося струмом у колі

i = I_msin (w t + 90°)

(3.50)

і знайдемо, якою повинна бути в цьому випадку напруга на затисках генератора.

Заряд на обкладках конденсатора

q = C × u_c,

(3.51)

де q – заряд конденсатора, Кл;

С – ємність конденсатора, Ф;

u_c – напруга на конденсаторі, В.

Струм у колі

(3.52)

де

звідки

(3.53) (3.54)

Величину позначимо x_с і назвемо реактивним опором конденсатора,
тобто

(3.55)

Перевіримо одиницю цього опору:

Запишемо закон Ома для максимальних значень, виходячи з виразів (3.54) і (3.55):

(3.56) (3.57)

Запишемо закон Ома для діючих значень:

(3.58) (3.59)

Представимо графічно напругу і струм у ємності (рис.3.18).

Знайдемо кут зсуву фаз між напругою і струмом у ємності:

j = |y_u_С– y_i| = |0–90°| = 90°.

Таким чином, струм у ємності випереджає напругу за фазою на кут 90°.

Знайдемо миттєву потужність у ємності:

де

(3.60) (3.61)

Величину Q_с назвали реактивною потужністю ємності, як одиницю уведено:

[Q_с]= вар.

Активна потужність у ємності як середнє значення потужності за період:

(3.62)

Отже, енергія в ємності не виділяється, а відбувається обмін енергією між джерелом і приймачем.

Розглянемо цей процес на графіку (рис.3.18). У першу чверть періоду,
коли напруга на обкладках конденсатора зростає, енергія запасається
в електричному полі конденсатора (позитивна заштрихована площа), миттєва потужність позитивна і спрямована від джерела до приймача. В другу чверть періоду, коли напруга зменшується, електричне поле віддає енергію джерелу (негативна
заштрихована площа), миттєва потужність негативна і спрямована від приймача до джерела.

Таким чином, миттєва потужність коливається з подвійною частотою – за половину періоду напруги миттєва потужність здійснює повне коливання.

Приклад 3.8

До ідеального конденсатора підведена напруга u_с = 282 sin (wt – 30°) В.

Частота струму в мережі дорівнює 50 Гц. Ємність конденсатора дорівнює 159 мкФ.

Виконати аналіз ділянки кола.

Рішення.

1. Визначаємо ємнісний опір конденсатора за (3.56):

2. Визначаємо амплітуду струму за (3.56):

3. Визначаємо початкову фазу струму:

y_i = y_uс + 90 = –30 + 90 = 60°.

4. Записуємо миттєвий струм:

i = 14,1 sin (wt +60°) А.

5. Визначаємо діюче значення струму за (3.14):

6. Визначаємо реактивну потужність за (3.61):

Q_с = 20×10² = 2000 вар = 2,0 квар.

Запитання для самоконтролю

1. Опишіть фізичні явища, які спостерігаються в ідеальному конденсаторі
в колі синусоїдного струму.

2. Складіть розрахункову схему кола з ідеальним генератором і ідеальним конденсатором.

3. Запишіть математичний зв'язок між миттєвою напругою,
миттєвим струмом і ємністю в ідеальному конденсаторі.

4. Поясніть фізичну суть ємнісного опору.
Як розрахувати ємнісний опір ідеального конденсатора?

5. Сформулюйте і математично запишіть закон Ома для максимальних
і діючих значень напруги і струму на ділянці кола з ємністю.

6. Запишіть математичний вираз миттєвого струму в ємності,
прийнявши, що початкова фаза дорівнює нулю.

7. Запишіть математичний вираз миттєвої напруги на ємності
для зазначеного вище струму.

8. Побудуйте графічно оригінали миттєвої напруги і миттєвого струму
на ділянці кола з ємністю.

9. Зобразіть напругу і струм за допомогою векторів.

10. Чому дорівнює кут зсуву фаз у ємності?

11. Отримайте математичний вираз миттєвої потужності в ємності.
З якою частотою коливається миттєва потужність у ємності?

12. Чому дорівнює активна потужність у ємності?

13. Як розрахувати реактивну потужність у ємності? Укажіть її одиницю.

14. Поясніть фізичну суть реактивної потужності в ємності.

Завдання для самоконтролю

До ідеального конденсатора підведена напруга
u_с = 282sin (wt + 47°) В. Ємність конденсатора дорівнює 318 мкФ.
Частота струму в колі f = 50 Гц.

1. Знайти реактивний опір конденсатора.

2. Записати миттєве значення струму.

3. Знайти реактивну потужність у ємності.

4. Записати вираз миттєвої потужності в ємності.

5. Зобразити графічно миттєву напругу і миттєву потужність у функції wt.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 Следующая ⇒