 |
|
Краткие сведения из теории идентификации линейного объекта
Рассмотрим теперь линейную функцию F и проанализируем специфику ее идентификации.
Модель статики линейного детерминированного объекта с n входами Xj (j = 1, n ) и m выходами Yi(i = 1, m ) имеет единственно возможную структуру и описывается системой линейных алгебраических уравнений :
ì y1 = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn + b1;
| y2 = a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn + b2;
í ............................................ (10)
î ym = am1x1 + am2x2 + ... + amnxn + bm
 |  |
где идентифицируются mn коэффициентов aij(i = 1, m ; j = 1, n).
Систему уравнений (10) можно записать в компактном виде в векторной форме
Y=AX + B, (11)
|
|
X = (X1, .... Xn ) ,
|
B = (b1, .... bm ) .
(13)
Здесь Т - знак транспонирования.
Идентификации в данном случае подлежат вектор В и матрица А.
Модель (10) можно рассматривать как совокупность моделей с многомерным входом Xi (i = 1,n ) и одномерным выходом Y (m=1).
Поэтому рассмотрим один выход объекта, то есть случай m=1 , n>1.
Модель такого объекта в векторной форме имеет вид:
Y = a0 + < A, X >,
где < A, X > - скалярное произведение векторов A = (a1, a2, ... an ) и X = (X1, X2, ...Xn):
В скалярной форме модель объекта имеет вид:
(14)
Модель имеет n+1 неизвестных параметров ai (i = 0,n),которые подлежат оценке на основе измерений входов и выхода объекта. Эта информация обычно представляется в виде N соответствующих пар значений (Xj, Yj) , где j=1, N , Xj = (X1j, X2j, .. Xnj ) - j-е состояние входа объекта, а Yj - реакция объекта на этот вход.
Обычным подходом к решению этой задачи является приравнивание выходов объекта и модели в N заданных точках (Xj, Yj) , в результате чего получают следующую систему уравнений идентификации:
( j = 1,N ) (15)
Полученные N уравнений с n+1 неизвестными N ³ n+1 имеют однозначное решение, если матрица
(16)
невырождена, т.е. det A1 ¹ 0
и, следовательно, ранг матрицы равен n+1. Это возможно в том случае, если найдется n+1 линейно независимая строка матрицы (16).
Поэтому из N строк следует выбрать n+1 линейно независимых строк 
,где iÎ{1, N}.
В этом случае из системы (15) будут выделены n+1 линейно независимых уравнений
(r = 1, n+1), (17)
|
совместное решение которых гарантирует определение точных оценок ai (i = 0,n) идентифицируемых параметров ai (i = 0,n) объекта , если, разумеется объект действительно линеен. Покажем это.
Подставим в систему уравнений (17) уравнение объекта
|
|
|
(r = 1,n+1),
где ai (i = 1,n) - оценки параметров объекта.
|
Di = ai - ai ( i = 0,n)
Тогда система уравнений (17) запишется в виде :
(r = 1, n+1 ), (18)
Для того чтобы решение системы (18) было нулевым, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы не был равен нулю. Легко заметить, что матрица системы (18) такая же, что и матрица системы (17) , содержит n+1 линейно независимых строк матрицы (16) и её определитель не равен нулю.
В результате имеем:
Di = 0 ( i = 0,n )
и следовательно, решение системы (18) гарантирует точную идентификацию параметров объекта, т.е.
|
Однако возможно, что объект не строго линеен и существуют незначительные случайные возмущения. При этом может оказаться, что ранг матрицы (16) меньше n+1 и из системы (15) невозможно выделить n+1 линейно независимых уравнений (17) для определения коэффициентов ai ( i = 0,n ) объекта. В этом случае возможны следующие подходы к идентификации:
1) повторить измерения входов и выхода объекта в надежде, что первый эксперимент был неудачным, т.е. состояния входа Xj (j = 1,N) были недостаточно разнообразны. Если и на новом экспериментальном материале не выполнится указанное условие, то можно попытаться изменить структуру модели;
2) понизить число идентифицируемых параметров, т.е. исключить рассмотрение одного из входов, например, тот , который мало изменяется. Это означает, что число идентифицируемых параметров стало n ( а не n+1). Сказанное следует делать до тех пор, пока ранг матрицы (16) не совпадает с ее размерностью. При выполнении этого условия из системы (15) всегда можно выделить линейно независимые уравнения (17) в количестве равном числу n1 оставшихся коэффициентов ai ( i = 1, n1 ) . Совместно решая их находят эти коэффициенты;
3) отказаться от метода интерполяции для определения неизвестных коэффициентов ai ( i = 1, n ), который привел к несовместной системе линейных уравнений. Ввести суммарную невязку выходов модели и объекта.
(19)
Величина E - характеризует степень несоответствия модели и объекта и зависит от параметров а модели.
Задачу оценки параметров ai ( i = 0, n ) можно теперь представить как задачу минимизации невязки (19), например, методом наименьших квадратов, т.е. свести к решению системы линейных уравнений:
ì
í (20)
î (k = 1, n).
Система (20) имеет следующий развернутый вид:
ì 
í 
(21)
......................................................
î 
,
где суммирование всюду осуществляется по о от 1 до N.
Как видно, эта система линейных алгебраических уравнений относительно искомых параметров ai ( i = 0, n ) . Если ранг матрицы коэффициентов системы (10)
(22)
|
|
|
равен n+1 , то det C¹0 и система (21) имеет единственное решение а0, а1,... аn , причем оно доставляет минимум функции E(а) (19), поскольку Е(а) ³0.
В некоторых случаях матрица с системы линейных уравнений может оказаться плохообусловленной, т.е. det C»0. В этом случае малые ошибки измерений Xi и вычислительные погрешности вычислительных процессов приводят к большим погрешностям определения коэффициентов модели аj (j = 0,n). Плохая обусловленность матрицы С имеет место в том случае, если некоторые ее строки (или столбцы) почти линейно зависимы. Например, пусть первая и вторая строки матрицы С почти линейно зависимы. Это означает, что
|
|
|
|
|
Существует ряд способов определения аj из системы линейных уравнений (21), в которой det C»0. Для этого прежде всего стремятся повысить точность вычислений, подвергают С некоторым эквивалентным преобразованиям, изменяют число опытов N и шаг DXi дискретности измерения входов Xi (i = 1, n).