Главная | Обратная связь

Численные методы исследования линейных объектов

 

Идентификация линейных объектов приводит к решению систем линейных уравнений. С этой задачей исследователь часто сталкивается в практике. Это обусловлено, по крайней мере, двумя причинами.

Во-первых, многие задачи линейной оптимизации, идентификации линейных и нелинейных моделей статики, идентификации линейных моделей динамики (дифференциальные уравнений) объекта сводиться к решению систем линейных уравнений.

Во-вторых, большинство нелинейных задач ‘в малом’ линейны, т.е. нелинейные модели в малой окрестности некоторого решения могут быть описаны линейными. Следовательно, первым шагом решения нелинейных задач является исследование линеаризованных моделей, что также связано с решением систем линейных уравнений.

Таким образом, численные методы решения систем линейных уравнений оказываются важным инструментом решения обширного круга научно-технических задач на ЭВМ.

В общем случае система линейных уравнений имеет вид

ì

í

..................................... (26)

î

или в компактном виде

(i = 1, n) (27)

~

Система (26) в матричной форме записывается следующим образом:

Сz = C (28)

~

где C = (Cij) - матрица вещественных коэффициентов (1<=i, j<=n), detL¹0.

- вектор свободных членов; Z = (Z1,...,Zn) - вектор неизвестных.

Численные методы решения системы (28) и их программная реализация подробно изучены студентами в курсе ‘Программирование и вычислительные методы’.

Приведем только некоторые практические рекомендации по применению алгоритма численного решения системы (28) методом Гаусса-Жордана.

Этот метод является разновидностью метода Гауса. Как известно, в методе Гаусса преобразования затрагивают только управления, стоящие ниже ведущего ряда. В результате исходная система уравнений приводится к треугольному виду. В методе же Гаусса-Жордана преобразуются уравнения, стоящие и под ведущим рядом, и над ним. Таким образом, этот метод дает алгоритм приведения системы линейных уравнений к диагональному виду. Он имеет простую реализацию (рис. 2.2), что не требует особых затрат времени для ввода в ЭВМ в случае отсутствия готовой программы в библиотеке.

Заголовок программы

Применение метода Гаусса-Жордана (так же как и метода Гаусса) усложняется, если какой-либо из коэффициентов ведущего ряда равен нулю. В этом случае ведущий ряд невозможно нормировать. Кроме того, известно, что наибольшая точность достигается тогда когда ведущий элемент имеет наибольшее значение по модулю. Поэтому эти методы исключения применяют в сочетании с какой-нибудь схемой выбора ведущего элемента (модифицированный метод Гаусса). Однако эту трудность можно обойти изменив порядок, в котором расположены уравнения системы. Для этого строку с нулевым или малым по модулю коэффициентом ведущего ряда надо заменить на ту из стоящих под ней строк, в которой в том же столбце стоит коэффициент, имеющий наибольшее значение по модулю.

 

 

Рис. 2.2. Структура программы на языке Паскаль решения системы методом Гаусса-Жордана.