 |
|
Объект исследования
Объектом исследования для изучения методов идентификации линейной модели является электрическая цепь. В качестве примера рассмотрим электрическую схему объекта, представленную на рис. 2.3.
Структурную схему идентификации представим в виде ‘ черного ящика ‘ изображенного на рисунке 2.4, где е1, е2 = наблюдаемые входы объекта, U1, U2 - наблюдаемые выходы объекта.
Модель статики линейного детерминированного объекта с n = 2 входами е1, е2 и m = 2 выходами U1, U2 представляется системой из двух линейных алгебраических уравнений:
ì
í 
(29)
î 
или векторной форме:
U = A e + B (30)
Запишем эти соотношения в матричной форме:
(31)
Рис. 2.3. Электрическая схема объекта.
е1 U1
|
е2 U2
входы выходы
Рис. 2.4. Структурная схема объекта.
Поскольку структура модели определена, задачей идентификации является определение неизвестных параметров aij (1<=i, j<=2 ) и bi (i=1, 2).
Для идентификации этих параметров необходимо располагать результатами измерений входов и выходов объекта. Однако получение измерительной информации путем проведения натурального эксперимента на реальном объекте связано с большими затратами времени и средств. Поэтому в настоящее время при исследовании сложных объектов эффективно применяется математическое моделирование на ЭВМ. При этом эксперимент на реальном объекте заменяется численным экспериментом на его модели . Такой подход к изучению объекта предлагается при решении задачи идентификации в настоящей лабораторной работе.
Остановимся на вопросе моделирования (имитации) объекта исследования (электрической цепи) на ЭВМ. Для формирования математических моделей статического и динамического режимов как линейных, так и нелинейных цепей успешно применяются законы Кирхгофа. Применим метод контурных токов Кирхгофа для решения поставленной задачи.
Суть метода заключается в том, что сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна сумме напряжений источников, действующих в этом контуре, т.е. алгебраическая сумма (с учетом знаков) напряжений Uj ветвей в контуре равна нулю:
Напомним, что контуром называется любой замкнутый путь в цепи ; ветвью - отрезок, символизирующий двухполюсный элемент.
Метод контурных токов состоит в выделении в схеме К независимых контуров; по которым протекают токи Il ( l = 1, k) произвольного направления. Эти токи принимаются в качестве независимых переменных. Для их определения по второму закону Кирхгофа составляем уравнения для каждого контура. Получаем систему линейных уравнений:
ì
í 
..................................... (32)
î
или в матричном виде:
, т.е. RI = E, (33)
где R - матрица контурных сопротивлений размерности kxk в которой диагональные элементы Rii являются собственными сопротивлениями контуров, а недиагональные Ris (i¹s) - взаимными сопротивлениями i - го контура для S - го контурного тока; I k-мерный вектор контурных токов , Е k - мерный вектор источников напряжения.
Для рассматриваемого объекта (рис. 2.3),используя матричную запись метода контурных токов, получаем:
, (34)
где
Моделирование (имитация) реального объекта (рис. 2.3) на ЭВМ осуществляется с помощью программы, которая обеспечивает решение системы линейных уравнений (32) , описывающих процессы в объекте при изменении параметров Rij , Ee. В процессе решения получают значение контурных токов Il ( l = 1, k) .
Нетрудно убедиться, что одновременно и достигается наибольшая точность решения системы, поскольку всегда выполняются условия ½Rii½>½Ris½ (i,s=1, k ; i¹s), т.к. собственное сопротивление любого контура больше его взаимных сопротивлений.
В рассмотренном объекте решение системы уравнений (34) дает значения токов I1, I2, I3. По их значениям определяют значение выходов объекта:
(35)
Проведя численные эксперименты с моделью объекта на ЭВМ в диалоговом режиме можно оценить изменения выходов U1, U2 при подаче на его вход испытательных воздействий е1, е2 в дискретные моменты времени.
Таким образом можно получить необходимую информацию в виде дискретных реализаций входов и выходов объекта для идентификации параметров его модели (2.3). Причем всю процедуру идентификации можно реализовать программно на ЭВМ для автоматизации исследований.