Здавалка
Главная | Обратная связь

Теоретическое введение



Электрически заряженные тела создают в окружающем пространстве электрическое поле. Если оно не меняется со временем, то такое поле называется стационарным. Поле так же реально, как и вещество, и является одним из видов материи.

Для описания электрического поля используются две характеристики: силовая - вектор напряженностиэлектрического поля и энергетическая - потенциал j, который является скалярной величиной.

Характеристики электрического поля изучают с помощью пробного положительного заряда такой величины, что он своим присутствием не искажает заметно исследуемое поле. Помещая такой пробный заряд q0 в те или иные точки поля, можно обнаружить действующие на него силы, которые в различных точках пространства оказываются различными по величине и направлению.

Пусть на пробный заряд q0 в данной точке поля действует сила . Величина этой силы зависит как от свойств среды в данной точке пространства, так и от величины пробного заряда q0. Но если взять отношение силы к заряду q0

, (3.1)

то получим величину не зависящую от величины заряда. Это отношение и является силовой характеристикой электрического поля, называемой напряженностью . Величина измеряется в В/м и, как видно из (3.1),

Таким образом, напряженность электрического поля в некоторой точке - это векторная физическая величина, численно равная силе, действующей на помещенный в данную точку поля единичный положительный заряд q0 и направленная в сторону действия силы.

Опыт показывает, что напряженность результирующего поля, создаваемая любым числом электрических зарядов, определяется векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Это обобщение опыта называют принципом суперпозиции (наложения) электрических полей

, (3,2)

где N- число электрических зарядов.

Электрическое поле можно изобразить графически - силовыми линиями напряженности. Силовой линией электрического поля называется линия, касательная в каждой точке к которой совпадает с направлением вектора напряженности . Густота же силовых линий, проходящих через единицу площади, нормальной к этим линиям, пропорциональна числовому значению вектора . Силовые линии являются условным понятием и реально не существуют.

Линии напряженности электростатического поля (т.е. поля неподвижных зарядов) не замыкаются сами на себя: они начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных, либо уходят на бесконечность.

Электростатическое поле считается однородным, когда густота и направление силовых линий по всему объему поля сохраняются неизменными. Графически такое поле изображается равноотстоящими друг от друга параллельными прямыми линиями.

Заряд в электростатическом поле обладает потенциальной энергией, которая равна работе, совершаемой силами поля по перемещению пробного заряда q0 из данной точки поля в некоторую фиксированную точку пространства, где напряженность поля равна нулю, т.е. на бесконечность.

Пусть заряд q0 в данной точке обладает потенциальной энергией U.

В различных точках поля величина потенциальной энергии данного заряда может быть различна, она зависит как от свойств среды, так и от величины заряда q0 . Но если взять отношение

j, (3.3)

то получим величину, которая не будет зависеть от q0 и может быть энергетической характеристикой электрического поля в данной точке. Это отношение называется потенциалом поля j.

Таким образом, потенциал электрического поля в данной точке есть скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии U заряда q0, помещенного в данную точку, к величине этого заряда q0. В системе СИ работа (энергия) измеряется в джоулях, заряд - в кулонах, а потенциал - в вольтах (В). Следовательно, за единицу потенциала в 1В принимается потенциал такой точки электрического поля, в которой единичный заряд в 1Кл обладает потенциальной энергией в 1Дж.

В соответствии с определением потенциала (3.3) произвольный заряд q в точке поля с потенциалом j обладает потенциальной энергией, равной

U= j q.

Так как потенциал есть скалярная величина, то, в соответствии с принципом суперпозиции, потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов составляющих полей. Иначе говоря, если накладываемые поля в данной точке характеризуются потенциалами j1,j2,...jN , то результирующий потенциал в данной точке

,

где N - число электрических зарядов.

В электрическом поле можно провести поверхность так, чтобы ее точки имели один и тот же потенциал. Такие поверхности называются поверхностями равного потенциала, или эквипотенциальными поверхностями. Так как все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, то работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю. Это значит, что электрические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормали к поверхности равного потенциала. Отсюда следует, что линии напряженности всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. На рис.3.1 эквипотенциальные поверхности изображены штрихами, а линии напряженности - сплошными.

Рис. 3.1

Пусть расстояние между эквипотенциальными поверхностями по нормали будет Dr. Можно всегда выбрать это расстояние настолько малым, чтобы напряженность поля вдоль отрезка 12 можно было считать постоянной. Пусть в этих условиях заряд q0 перемещается из точки 1 в точку 2 (рис.3.1).

Работа по перемещению заряда q0 может быть определена через разность Dj потенциалов

DА = -q0Dj, (3.4)

или через напряженность поля

DА = q0EDr (3.5)

Из этих двух способов расчета работы по перемещению заряда в электрическом поле следует, что

Е = - (3.6)

Физический смысл полученного выражения следующий: напряженность поля определяется уменьшением потенциала, приходящимся на единицу длины, вдоль линии напряженности, а знак минус показывает, что напряженность поля всегда направлена в сторону уменьшения потенциала.

Выражение (3.6) также отображает связь энергетической характеристики поля j с ее силовой характеристикой - напряженностью

Выражение (3.6) обычно записывают в векторном виде

где - единичный вектор, совпадающий с направлением линий напряженности. Величина характеризует быстроту изменения потенциала в направлении линии напряженности (ее называют градиентом потенциала). Следовательно, вектор напряженности численно равен градиенту потенциала, но направлен в противоположную сторону - в сторону падения потенциала.

Составляющие вектора напряженности Е по осям прямоугольной системы координат равны:

Еx=-¶j/¶x, Еy=-¶j/¶y и Еz=-¶j/¶z.

При этом модуль вектора напряженности равен

Найдем зависимость напряженности поля, создаваемого точечным электрическим зарядом (им называют такое заряженное тело, линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием между заряженными телами) от величины заряда и расстояния.

Пусть поле точечного заряда q исследуется пробным зарядом q0. Тогда, согласно закону Кулона, сила взаимодействия между этими зарядами равна

(3.7)

где e0 - электрическая постоянная, e - диэлектрическая проницаемость среды, в которой находятся заряды, r - расстояние между зарядами.

Диэлектрическая проницаемость - это число, показывающее во сколько раз взаимодействие между зарядами в данной среде меньше, чем в вакууме.

Напряженность электрического поля в том месте, где находится заряд q0. согласно (3.1 и 3.7), будет равна

(3.8)

Таким образом, напряженность электрического поля точечного заряда q убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда.

В векторной форме напряженность поля точечного заряда записывается так

(3.9)

где -радиус-вектор, причем = r .

При перемещении пробного заряда q0 в поле электростатические силы совершают работу. Найдем эту работу на конечном перемещении

(3.10)

Из выражения (3.10) следует, что работа зависит только от положения начальной и конечной точек перемещения (r1 и r2) и не зависит от формы пути. Силовые поля, удовлетворяющие такому условию, называются потенциальными. Следовательно, электростатическое поле является полем потенциальным.

Так как потенциальная энергия заряда в электростатическом поле равна работе по перемещению этого заряда из точки 1 на бесконечность (под бесконечностью понимают точку в пространстве, где напряженность поля равна нулю), то согласно (3.10), имеем

(3.11)

здесь учтено, что r2=¥, а r1 =r .

Из определения потенциала (3.3) и с учетом (3.11) вытекает, что

(3.12)

Видно, что потенциал точечного заряда q убывает обратно пропорционально расстоянию r от заряда q .

В ряде случаев для нахождения напряженности поля используют теорему Гаусса. Эта теорема формулируется так: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0e, т.е.

(3.13)

где N -число зарядов, заключенных внутри поверхности.

Рис. 3.2

Определим напряженность поля бесконечной однородно заряженной плоскости с использованием теоремы Гаусса. Размер этой плоскости ℓ намного больше расстояния от плоскости до точки, где рассчитываем напряженность, т.е. ℓ>>r.

Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущего заряд тела, то распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности заряда s, которая определяется выражением

(3.14)

где dq - заряд, заключенный в слое площади dS. В нашем случае для заряженной плоскости поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова, и равна s, а заряд положительный. Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости. Действительно, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно, нет никаких оснований к тому, чтобы вектор отклонялся в какую-либо сторону от нормали к плоскости (см. рис.3.2). Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках, напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Ограничим часть заряженной плоскости воображаемой цилиндрической поверхностью с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величиной DS , расположенными относительно плоскости симметрично (см рис.3.2). Применим к этой поверхности теорему Гаусса (3.13). Поток через боковую поверхность цилиндра будет отсутствовать, поскольку Еn в каждой ее точке равна нулю. Еn -это проекция вектора на нормаль . Для оснований цилиндра Еn совпадает с Е (см. рис.3.2). Следовательно, суммарный поток через поверхность равен 2Е×DS. Внутри поверхности заключен заряд sDS . Согласно теореме Гаусса должно выполняться условие

2EDS=

из которого следует, что

(3.15)

Видно, что напряженность поля не зависит от длины цилиндра. Это означает, что на любых расстояниях от плоскости напряженность одинакова по величине.

Определим разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора. Плоский конденсатор состоит из двух металлических пластин площадью S каждая, расположенных на близком расстоянии одна от другой, несущих заряд +q и -q, причем расстояние между пластинами намного меньше размеров пластин (см. рис.3.3).

Рис. 3.3

Поле между пластинами можно считать эквивалентным полю между двумя бесконечными плоскостями, заряженными разноименно. С учетом формулы (3.15) поле между пластинами

(3.16)

Следовательно, разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора, согласно (3.6 и 3.16) будет

j1-j2= (3.17)

Как следует из (3.17), эквипотенциальными поверхностями будут плоскости, параллельные пластинам конденсатора.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.