Теоретическое введение

Процесс зарядки и разрядки конденсатора (системы способной накапливать электрические заряды и состоящей из двух или более проводников – обкладок, разделенных диэлектриком) легко понять, если рассмотреть работу схемы, представленной на рис.4.1, где “R” – активное сопротивление; “C” – конденсатор; “ε” – источник питания; “K” – ключ. Процесс зарядки и разрядки конденсатора “C” начнется, после того как ключ “K” будет замкнут, и по цепи потечет ток зарядки “I”, доставляющий заряды равные по величине, но противоположные по знаку, к обкладкам конденсатора. В связи с чем будет возрастать и разность потенциалов между обкладками конденсатора, определяемая соотношением:

q = C U_c (4.1)

где q – заряд одной из обкладок конденсатора; С – емкость конденсатора; U_c– разность потенциалов между обкладками конденсатора, равная падению напряжения на конденсаторе.

Очевидно, что этот процесс закончится тогда, когда разность потенциалов на обкладках конденсатора по величине сравняется с ε – э.д.с. источника питания.

Для того чтобы найти закон изменения тока при зарядке конденсатора с течением времени, воспользуемся законом Ома для неоднородного участка цепи, который в данном случае запишется как:

U_c+ U_R = ε (4.2)

где U_c- падение напряжения на конденсаторе; U_R – падение напряжения на активном сопротивлении; ε - э.д.с. источника питания.

Воспользуемся формулой (4.1) и тем, что U_R = IR:

ε (4.3)

Продифференцируем полученное выражение по времени с учетом того, что R, C и ε - постоянные величины, не зависящие от времени:

(4.4)

Учитывая, что , разделим переменные:

(4.5)

Проинтегрируем это выражение, причем учтем, что ток изменяется в пределах от I₀ до I, тогда как время от t = 0 до t:

(4.6)

тогда:

(4.7)

(4.8)

Мы получили закон, по которому ток зарядки уменьшается со временем: убывание тока с течением времени происходит по экспоненциальному закону (рис.4.2), причем в момент времени , ток зарядки падает в “е” раз. Это время получило название характеристического времени релаксации.

Закон изменения со временем величины напряжения выведем из закона Ома для неоднородного участка цепи (4.2) с учетом (4.8):

= ε - U_R = ε -IR = ε - (4.9)

Значение тока I₀определяется из условия, что в начальный момент времени t = 0, при разомкнутом ключе, = 0. Подставив это выражение в (4.9), получим: ε‑I₀R=0. Тогда

I₀= ε/R (4.10)

Подставим полученное значение I₀в формулу (4.9):

= ε - ε =ε (1- ) (11)

Как видно из рис.4.3, наблюдается экспоненциальный рост напряжения. За характеристическое время достигается величина =0.63ε. Эту особенность изменения напряжения в такой цепи используют для создания простейшей линии задержки: если подавать на вход такой цепи какое – либо напряжение (в нашем случае ε), то на выходе оно появится через некоторое время ≈ τ. Регистрирующий прибор подсоединен параллельно обкладкам конденсатора.

Теперь рассмотрим, как изменяются с течением времени величины тока и напряжения, когда конденсатор разряжается. Для этого обсудим схему рис.4.4, где “R” – активное сопротивление; “C” – конденсатор; “K” – ключ. При замыкании ключа “К” в цепи возникает ток, обусловленный разностью потенциалов на обкладках конденсатора. Так как сторонние силы в данном случае отсутствуют, закон Ома запишется в следующем виде:

U_c+ U_R = 0 (4.12)

или

(4.13)

Знак “ – ” показывает, что направление тока при разрядке конденсатора противоположно направлению тока при его зарядке.

Продифференцируем это выражение, учитывая, что параметры R и C постоянные:

(4.15)

Выберем пределы интегрирования с учетом того, что с изменением времени от до t = t ток изменится от до ,и проинтегрируем выражение (15):

(4.16)

(4.17)

Тогда напряжение, используя формулу(4.12) запишется:

(4.18)

Графики зависимости тока и напряжения от времени при разрядке конденсатора приведены на рис.4.5.

Рис. 4.5

Выполнение работы

Для изучения временных зависимостей тока зарядки (разрядки) конденсатора, с учетом параметров R, C и U, необходимо:

1.Собрать схему рис.4.6, где источником питания служит регулируемый источник напряжения, которое изменяется от 0 до 18 вольт. R_i – набор сопротивлений: R₁ = 3.2мОМ; R₂ = 4мОм; R₃ = 6мОм; R₄ =10мОМ; R=100Ом. С_i – набор емкостей: С₁ = 50мкф; С₂ = 20мкф; С₃ = 5мкф; С₄ = 1мкф. А – амперметр, в качестве которого используется мультиметр В7–21А. Переключатель “П” отключает источник питания, включая схему либо на зарядку, либо на разрядку конденсатора; ключ ”K₂” служит для быстрой зарядки конденсатора, ключ ”K₁” служит для быстрой его разрядки. m - секундомер для отсчета времени. В качестве R_i и С_i подсоединить R₁ и С₁.

Рис. 4.6

а) Включить переключатель ” П ” в положение ”зарядка” и с помощью ключа ”K₂” зарядить конденсатор.

б) Включить переключатель ”П” в положение ”разрядка”, одновременно включив секундомер и амперметр. Произвести 7 – 8 измерений, записывая показания приборов через каждые 5 – 10 секунд. Построить график зависимости I(t).

в) Повторить измерения I(t) последовательно заменив С₁ на С₂, С₃ и С₄ при неизменных R₁ и U. Построить графики зависимостей I(t).

г) Учитывая, что I(t) = , перестроить полученные графики в логарифмическом масштабе: . Определить тангенсы углов наклона полученных прямых как

д) перестроить полученные данные в двойном логарифмическом масштабе: . Величину емкости можно выразить в микрофарадах. Найти тангенс угла наклона полученных линейных зависимостей

2. Подсоединить в качестве R_i и С_i резистор R₂ и емкость С₂.

а) Снять зависимости начального тока I₀от приложенного U напряжения.

б) Из построенного графика определить сопротивление и сравнить с указанным в работе.

3.а) Используя, подключенные в схему резистор R₂ и емкость С₂, снять, аналогично п.1 зависимости I(t).

б) Подсоединив в качестве R_i резистор R₃ снять зависимости I(t) при неизменных C₂ и U.

в) Снять зависимости I(t) при неизменных C₂ и U подсоединив в качестве R_i резистор R₄.

г) Построить графики зависимостей I(t) при неизменных C₂ и U. Зависимость I(t) для R₁взять из п.1.

д) Для определения , как тангенса наклона (для ) аналогично пункту 1.г построить графики ; .

е) Построить графики зависимостей . Найти тангенс угла наклона для всех R_i .

Контрольные вопросы

1. Что такое электроемкость? В каких единицах она измеряется?

2. Что такое емкость проводника; конденсатора?

3. Сформулируйте закон Ома для однородного и неоднородного участка цепи.

4. Выведите формулу временной зависимости величин тока и напряжения при зарядке конденсатора.

5. Выведите формулу временной зависимости величин тока и напряжения при разрядке конденсатора.

6. Изобразите графически зависимости I(t) и U(t) а) конденсатор заряжается; б) конденсатор разряжается.

7. Что такое характеристическое время релаксации?