Расчёт плоской фермы
Определить реакции опор и усилия в стержнях плоской фермы двумя методами: вырезания узлов и сечений Исходные данные
Исходная схема Расчётная схема
Решение У заданной фермы (рис. 1) имеется шарнирно-неподвижная опора в точке А (две неизвестные реакции) и опорный стержень в точке В (одна неизвестная реакция). Ферма находится под действием плоской системы сил, для которой имеются три уравнения равновесия. Количество неизвестных реакций опор равно количеству уравнений. Это значит, что ферма в целом статически определима. Кроме того, должно быть соблюдено условие статической определённости в виде соотношения между количествами стержней и узлов фермы . Количество стержней , количество узлов . Очевидно, что условие выполняется. Расчёт фермы начнём с определения реакций опор. Изобразим расчётную схему (рис. 2). Покажем координатные оси х, у. По принципу освобождаемости от связей, мысленно отбросим опоры и введём реакции вместо шарнирно-неподвижной опоры и - вместо опорного стержня ВС. Для определения реакций опор рассмотрим равновесие всей фермы в целом как единого твёрдого тела. Тогда соответствующие уравнения равновесия плоской системы сил принимают вид: (1) (2) (3)
Отсюда находим:
(направлена влево), (направлена вверх), (направлена вниз).
Теперь приступим к определению усилий в стержнях указанными методами. 1. Метод вырезания узлов. Обозначим на расчётной схеме узлы: и стержни: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Далее в расчётах понадобятся углы наклона стержней к координатным осям. Найдём углы наклона к оси х-ов. ; ; ; . Рассмотрим каждый узел. Расчёты начнём с узла, где сходятся только два стержня.
Узел D. Предполагая сходящиеся к нему стержни 1 и 2 растянутыми, изобразим узел и силы, приложенные к нему. Составим уравнения равновесия в виде равенства нулю сумм проекций сил на координатные оси x, y и находим усилия в стержнях. .
Стержень 2 - сжатый. . Узел Е. Аналогично составляем уравнения равновесия: , . Подставим числа и получим систему двух уравнений с двумя неизвестными , . Решение даёт Стержень 3 - сжатый. Узел G. Уравнения равновесия имеют вид , . Подставляя численные значения, получим , . Решение системы даёт усилия в стержнях: . Стержень 5 - сжатый. Узел A. Неизвестным является только одно усилие - . Поэтому составляется только одно уравнение равновесия: , из которого находим . Стержень 6 - сжатый 2.Метод сечений. Проведём сечения I - I, II - II, III - III, IV – IV, пересекающие все стержни фермы. Равновесие левой части фермы в случае I - I приводит к тем же уравнениям равновесия, которые использованы выше для узла D, и поэтому их не будем рассматривать. По той же причине не рассматриваются и сечения II – II, IV – IV, которые приводят к рисункам для узлов А и Е. Очевидно, что метод сечений для усилий в стержнях 1, 2, 3, 7, даёт те же значения, которые получены выше методом вырезания узлов, ввиду полного совпадения рисунков отсечённых частей и уравнений равновесия. Изобразим правую часть фермы, отсекаемую сечением III – III. Она является частью фермы, находящейся в равновесии, и поэтому должна быть также в равновесии. Из этого следует, что уравнения равновесия для правой части должны удовлетворяться. Составим их: , , Из третьего уравнения . Первое и второе уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными и , которая после подстановки чисел имеет вид . Решая её, получим: . Сравнивая результаты, полученные двумя разными методами, убеждаемся, что они равны. Следовательно, решения по обоим методам являются верными.
Варианты заданий
Задача К1 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|