 |
|
Определение скорости и ускорения точки по уравнениям движения
В таблицах 1, 2 заданы уравнения движения точки М и численные значения параметров к ним. Требуется установить траекторию и для момента времени t = t1 найти положение точки на ней. Вычислить скорость, полное, касательное и нормальное ускорения точки М (показать их на рисунке), радиус кривизны траектории.
Заданы уравнения движения точки М
x(t) = at, y(t) = ct2 – d (1)
Исходные данные
| Шифр | a м/с | b м | c м/с2 | d м | t1 с |
| 31-6 | 0,5 |
Решение
После подстановки численных значений уравнения (1) приобретают вид
x(t) = 4t , y(t) = 16 t2-1. (2)
Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (2). С этой целью выразим время из первого уравнения и подставим во второе
t = x / 4 , y = 16 (x/4)2 – 1 = x2 – 1.
Иначе
x2 = y + 1. (3)
Таким образом, получено уравнение параболы.
Положение точки М на траектории в момент времени t1 находим по уравнениям (1)
x(0,5) = 4·0,5 = 2 м , y(0,5) = 16·0,52-1 = 3 м.
Для построения траектории точки, являющейся кривой линией (часть параболы) необходимо определить положения точки М ещё при нескольких моментах времени вблизи t = t1. Эти вычисления отобразим в табличной форме.
| t, с | 0,25 | 0,5 | 0,7 | 0,8 | |
| х, м | 2,8 | 2,4 | |||
| у, м | -1 | 6,8 | 4,8 |
По табличным данным построена кривая (рис.1)
Вычислим проекции скорости и ускорения точки на оси координат vx, vy, ax, ay, дифференцируя по времени уравнения движения (1)
, 
, 
,
, 
.
По найденным проекциям определяются модуль скорости
и модуль ускорения точки
Касательное ускорение точки
.
Полученный знак + означает, что движение точки ускоренное, направления 
совпадают.
Модуль нормального ускорения точки определим по формуле
.
После того как найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения
.
Результаты вычислений по формулам для заданного момента времени
= 0,5 с приведены в таблице
| Координаты м | Скорость м/с | Ускорение м/с2 | Радиус кривизны м | |||||||
| х | у | 
| 
| v | 
| 
| а | aτ | 
| 
|
| 16,49 | 32,0 | 31,05 | 7,74 | 35,13 |
На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор 
строим по составляющим 
, причём этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор 
строим по составляющим 
и затем раскладываем на составляющие 
. Совпадение величин 
, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.
Варианты заданий
Таблица 1
| Второе число шифра | a | b | c | d |
Примечание: Единицы измерения параметров в Таблице 1 соответствуют единицам измерения уравнений движения, заданных на следующей странице.
Таблица 2
| Первое число шифра | Уравнения движения, м | t1, с | |
| x(t) | y(t) | ||
| a t2 + b | c t + d | 3/4 | |
| a + b t | c + d t + a t2 | 1/2 | |
| b cos (πt/2) + a | c + d cos (πt/4) | ||
| a sin(πt/3) + b | c cos (πt/3) + d | ||
| b sin(πt/2) + d | a cos (πt/2) + c | 1/2 | |
| d sin2(πt) + a | b cos2(πt) + c | 1/3 | |
| a t + b | c sin (πt/4) + d | ||
| c sin (πt/3) + b | a t + d | ||
| a cos (πt/4) + b | c sin(πt/8) + d | 3/2 | |
| dt2 + ct | a + b t | 1/2 | |
| a cos (πt/3) + c | d sin(πt/3) + b | ||
| b cos (πt/2) + c | a sin(πt/2) + d | 3/2 | |
| a cos2(πt) + d | b sin2(πt) + c | 1/3 | |
| b sin (πt/6) cos (πt/6) + c | d sin2(πt/3) + a | ||
| d t + a | b t2 + c | 1/2 | |
| b sin2(πt/2) + a | d sin (πt/4) cos (πt/4) + c | 1/3 | |
| ct + a | dt2 + at + b | ||
| c sin (πt/6) + d | b cos (πt/6) + a | ||
| a sin2(πt/3) + b | c cos2(πt/3) + d | ||
| c sin (πt/4) + d | a cos (πt/4) + b | ||
| d t + b t2 | b + a t | ||
| a sin(πt/6) + c | d cos(πt/3) + b | 3/2 | |
| a + ct + 2 ct2 | b + dt | ||
| d cos (πt/6) + a | b sin(πt/6) + c | ||
| b cos2(πt/3) + a | d sin2(πt/3) + c | ||
| a cos (πt/4) + c | b sin(πt/4) + d | ||
| d t + b | c t + a t2 | 3/2 | |
| c sin2(πt/6) + b | a cos2(πt/6) + d | ||
| b t - c | d t – a t2 | 3/2 | |
| d cos2(πt/6) + b | c sin2(πt/6) + a |
Задача К2