Здавалка
Главная | Обратная связь

Определение скоростей и ускорений точек в передаточных механизмах



Движение груза 1 в механизме на рис. 1 описывается уравнением

, (1)

где c0, c1, c2 - некоторые постоянные, t – время в секундах.

В начальный момент времени (t = 0) координата груза – x0, его скорость – v0. Координата груза в момент времени t = t2 равна x2.

Определить коэффициенты , при которых осуществляется требуемое движение груза 1; определить в момент времени t = t1 скорость и ускорение груза и точки M одного из колёс механизма.

 

 
 

Расчётная схема

Исходные данные

Решение

Уравнение движения груза 1 имеет вид (1) и его коэффициенты могут быть определены из следующих условий

при (2)

при t = (3)

Скорость груза 1

.(4)

Подставим (2) и (3) в формулы (1) и (4) и получим

14 = с0, 168 = с2 ·22 + с1 · 2 + 14, 5 = с1.

Отсюда легко находим

Таким образом, уравнение движения груза 1

Скорость груза 1

(5)

Ускорение груза 1

.

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза v и угловые скорости колес ω2 и ω3. В соответствии со схемой механизма

.

Отсюда

,

или с учетом (5) после подстановки данных

В момент времени t1

ω3 = 2,215 · 1 +0,154 =2,369 рад/с.

Угловое ускорение колеса 3

Определим скорость точки М, её касательное, нормальное и полное ускорения

 

см/с;

an = r3 ω =40·2,3692 = 224,5 см/с2;

aτ = r3 ε3 =40·2,215 = 88,6 см/с2;

Результаты вычислений для заданного момента времени с приведены в таблице

Таблица результатов вычислений

2,37 2,22 94,8 88,6

 

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 2.

Варианты заданий

Второе число шифра Радиусы см Координаты и скорости груза 1 Расчётные моменты времени с
R2 r2 R3 r3 x0, см v0, см/с x2, см t1 t2

 



Задача К3

Определение скоростей и ускорений точек в планетарных механизмах

В планетарном механизме шестерня 1 радиуса R неподвижна, а кривошип ОА, вращаясь вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, приводит в движение свободно насаженную на конец А шестерню 2 радиуса r. Для указанного на рисунке положения механизма найти скорости и ускорения точек А и В, если для соответствующего момента времени известны абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения кривошипа . На рисунках условно показаны направления угловой скорости и углового ускорения дуговыми стрелками вокруг оси вращения. При этом направление угловой скорости соответствует направлению вращательного движения кривошипа. Угловое ускорение направлено в сторону угловой скорости при ускоренном вращении и в противоположную – при замедленном.

 

Исходные данные

Шифр ωОА с-1 εОА с-2 R м r м α град.
31-6 0,6 0,4

 

Решение

Рассмотрим последовательно движения каждого из двух подвижных звеньев планетарного механизма. Начинать при этом необходимо со звена, угловая скорость и угловое ускорение которого заданы. Таким образом, начнём исследование кинематики механизма с кривошипа.

1. Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Определим скорость и ускорение точки А кривошипа, которая одновременно принадлежит и подвижной шестерне 2.

Абсолютная величина скорости точки А определяется по формуле

. (1)

Для заданного положения механизма

. (2)

Вектор скорости направлен перпендикулярно ОА (радиусу вращения) в направлении вращения, указанному на рис. 1 дуговой стрелкой .

Рис. 1

Ускорение точки А представим разложенным на касательную и нормальную составляющие

. (3)

Величины нормального ( ) и касательного ( ) ускорений определяются соответственно по формулам:

, (4)

. (5)

Для заданного положения механизма

, (6)

. (7)

При этом нормальное ускорение точки А ( ) направлено по радиусу окружности, описываемой к центру этой окружности – к точке О.

Касательное ускорение ( ) направлено по касательной к этой окружности (перпендикулярно ОА) в сторону, указанную дуговой стрелкой . Это объясняется тем, что при замедленном вращении (по условию задачи кривошип ОА вращается замедленно), касательное ускорение направляется в сторону, противоположную направлению вращения, указанного дуговой стрелкой . В то же время при замедленном вращении угловое ускорение направляется также в сторону, противоположную направлению угловой скорости.

Величина ускорения точки А в соответствии с соотношением (3) и с учётом (6) и (7) для заданного положения механизма определится по формуле:

.

2. Шестерня 2 совершает плоскопараллельное (плоское) движение. Учитывая, что шестерня 2 катится без скольжения по неподвижной шестерне 1, мгновенный центр скоростей (точка ) подвижной шестерни будет находиться в точке соприкосновения двух шестерен (рис. 1).

Для заданного положения планетарного механизма выше определена скорость центра шестерни 2 (точки А). Таким образом, зная величину скорости одной из точек и положение мгновенного центра скоростей подвижной шестерни, можно определить величину её мгновенной угловой скорости (ω2) по формуле

, (7)

где расстояние .

В результате подстановки значения и (1) в соотношение (7) получим

. (8)

Для заданного положения механизма

. (9)

Направление мгновенного вращения шестерни 2 вокруг мгновенного центра скоростей (точка ), определяемое направлением скорости точки А ( ), условно показано на рис. 1 дуговой стрелкой ω2.

Шестерня 2 в указанном положении движется замедленно. Это следует из сопоставления направлений векторов и (они направлены в противоположные стороны). Следовательно, угловое ускорение шестерни 2 (ε2) направлено в сторону, противоположную направлению угловой скорости ω2, что условно показано на рис.1 дуговой стрелкой ε2.

Величину углового ускорения ε2 определим по формуле

(10)

Учитывая (8), на основании (10) получим

, (11)

где - величина углового ускорения кривошипа ОА. Для заданного положения механизма

. (12)

Таким образом, для некоторого момента времени найдены положение мгновенного центра скоростей, угловая скорость, угловое ускорение подвижной шестерни 2, а также ускорение точки А. это позволяет найти скорость и ускорение любой точки шестерни.

Прежде всего определим абсолютную величину скорости точки В по формуле

, (13)

где В – расстояние от точки В до мгновенного центра скоростей. Расстояние В определим из треугольника АВ . Этот треугольник равносторонний и следовательно,

. (14)

Для заданного положения механизма, учитывая (9) и (14), на основании (13) получим

. (15)

Вектор скорости направлен перпендикулярно прямой В . Ускорение точки В можно найти на основании теоремы об ускорениях точек плоской фигуры, приняв точку А за полюс

, (16)

где и - соответственно нормальное и касательное ускорения точки В при относительном вращательном движении шестерни 2 вокруг полюса А. Учитывая (3), формулу (16) представим в виде

. (17)

Величины нормального ( ) и касательного ( ) ускорений точки В при относительном вращательном движении шестерни 2 вокруг полюса А определяются по формулам

, (18)

. (19)

Для заданного положения механизма на основании (18) и (19) с учётом (9) и (12) получим

, (20)

. (21)

При этом нормальное ускорение направлено вдоль ВА к центру относительного вращения (к полюсу А), а касательное ускорение направлено перпендикулярно прямой АВ в сторону, указанную дуговой стрелкой ε2.

Таким образом, найдены модули четырёх векторов ускорений, стоящих в правой части векторного равенства (17), и показаны их направления в точке В. По рис. 1 найдём ускорение точки В как геометрическую сумму четырёх показанных в точке ускорений аналитическим способом. Для этого спроектируем векторы, стоящие в правой и левой части равенства (17), на две оси координат х, у (рис. 1)

, (22)

, (23)

Учитывая (6), (7), (20) и (21), на основании (22) и (23) найдём для заданного положения механизма проекции ускорения точки В на оси х, у

,

.

Проекции вектора ускорения (лежащего в плоскости ху) на две оси координат полностью определяют его модуль и направление. Итак, величина

.

 

Варианты заданий

 

Второе число шифра ωОА с-1 εОА с-2 R м r м α град.
0,7 0,4
0,6 0,3
0,8 0,4
0,9 0,5
0,5 0,3

 


 
 

 
 

ЛИТЕРАТУРА

1.Яблонский А.А., Норейко С. С. и др. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 1985. – 367 с.

2.Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания. Для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений. Издание четвёртое. Под редакцией проф. С.М. Тарга. М.: Высшая школа, 1989. –111 с.

3.Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий: Учебное пособие. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009. –192 с.


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие. 3

Общие методические указания по выполнению работ. 5

Задача С1. Определение реакций опор твёрдого тела. 8

Задача С2. Определение реакций опор составной конструкции. 13

Задача С3. Определение реакций опор пространственного бруса. 20

Задача С4. Определение реакций опор прямоугольной плиты.. 24

Задача С5. Расчёт плоской фермы.. 28

Задача К1. Определение скорости и ускорения точки по уравнениям движения. 35

Задача К2. Определение скоростей и ускорений точек в передаточных механизмах 40

Задача К3. Определение скоростей и ускорений точек в планетарных механизмах 46

Литература. 54

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.