Свойства средней арифметической
Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и в некоторых случаях используются для упрощения ее расчетов. В статистическом анализе применяются следующие свойства средней арифметической: 1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю: (если частоты равны единице); (если частоты различны). Поэтому среднюю можно назвать центром распределения данных: значения ниже и выше средней величины взаимно уравновешиваются. 2. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоты : 3. Если к каждому значению признака прибавить или отнять какое-либо произвольное число А, то новая средняя соответственно увеличится или уменьшится на то же число А: . 4. Если каждое значение признака умножить или разделить на одно какое-либо число А, то и новая средняя соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз: 5. Если все частоты (веса) разделить или умножить на одно и то же число А, то величина средней не изменится: 6. Сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины А: < =min. 7. средняя арифметическая суммы (разности) признаков равна сумме (разности) их средних арифметических. Метод моментов Для расчета средней арифметической в случае интервального ряда с равными интервалами применяется метод моментов (см. § 6.4). Свойства средней арифметической во многих случаях позволяют упростить расчеты на основе следующего алгоритма: 1. Из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (А); 2. Разность сократить на общий множитель ( ); 3. Рассчитать момент первого порядка ( ) по формуле: . 4. Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид: = + А. Данный способ вычисления средней называется методом моментов(способ отсчета от условного нуля). В этой формуле: - величина момента первого порядка; - величина интервала; - центральный вариант ряда (условный 0). В качестве произвольной постоянной величины (А) обычно выбирают один из центральных вариантов ряда: При нечетном числе интервалов в качестве общего множителя ( ) берут общий наибольший делитель, равный величине интервала. При четном числе интервалов общий множитель ( ) равен половине величины интервала. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|