для студентов 511, 411 групп.

Вопросы к Государственному экзамену по ТОНКМ

Понятие множества. Способы задания множества. Отношения между двумя множествами и изображение их кругами Эйлера

Создание теории множеств Г.Кантором (кратко). Множество – фундаментальное понятие математики, точное его определение дать нельзя, можно лишь пояснить на примерах!!! Понятие элемента множества. Принадлежность и не принадлежность элемента множеству. Классификация множеств по числу элементов: конечные, бесконечные, пустые (с примерами). Классификация множеств по типу элементов: числовые и все остальные (с примерами). Золотое правило теории множеств: множество считается заданным, если про любой элемент можем сказать, принадлежит он множеству или нет. Способы задания множеств: перечисление элементов, характеристическое свойство (с примерами). Отношения между множествами и их изображение кругами Эйлера: отношение включения, равные множества, непересекающиеся множества, пересекающиеся множества ( с примерами)

Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение, декартово произведение.

Можно оформить в виде таблицы: название операции, обозначение, определение, как найти (в случае перечисления элементов, в случае характеристического свойства), изображение кругами Эйлера, пример. Про дополнение говорить как про частный случай разности.

Основные законы операций над множествами ( с Иллюстрацией диаграммами Эйлера –Венна, с доказательством)

Рассмотреть такие свойства, как: коммутативность объединения и пересечения, ассоциативность объединения и пересечения, дистрибутивность, свойства разности (5 штук). Некоторые с доказательством, остальные кругами Эйлера.

Соответствия между элементами двух множеств. Способы задания соответствий. Взаимно-однозначные соответствия. Равномощные и равночисленные множества.

Определение декартова произведения множеств. Определение соответствия. Способы задания соответствия: перечисление элементов, характеристическое свойство, граф, график, таблица. Примеры. Определение взаимно-однозначного соответствия. Примеры. Равномощные и равночисленные множества.

Бинарные отношения на множестве. Способы их задания. Свойства отношений.

Определение декартова произведения множества на само себя. Определение бинарного отношения на множестве, его отличие от соответствия. Способы задания отношений: перечисление элементов, характеристическое свойство, граф, график, таблица. Примеры. Свойства отношений: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, связность. Особенности этих свойств на графе отношения.

Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Упорядоченные множества. Линейно упорядоченные множества.

Свойства отношений, перечисленные в предыдущем вопросе. Определение отношения эквивалентности. Понятие разбиения множества на классы. Показать на примере, что отношение эквивалентности задает разбиение множества на классы и наоборот. Определение отношения порядка. Линейно упорядоченные и упорядоченные множества.

Математические понятия. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. Особенности отношения рода-вида.

Термин и понятие. Абстрактная природа математических понятий. Существенные и несущественные свойства объектов, объем и содержания понятия. Рассмотреть пример, например, объем и содержание понятия квадрат. Золотое правило: чем больше объем, тем меньше содержание. Пример. Отношения между понятиями: тождественные и отношения рода-вида с примерами. Особенности отношения рода-вида: одно и то же понятие может быть одновременно и родовым и видовым и так далее (см. лекцию)

Определения понятий. Виды определений. Примеры. Правила формулирования определений понятий. Алгоритм составления определения понятия.

Определение определения. Виды определений: явные и неявные, генетические, контекстуальные, остенсивные, через род и видовое отличие, индуктивные. Примеры. Отдельно рассмотреть определения через род и видовое отличие. Правила составления таких определений: не должно быть порочного круга и так далее (см. лекцию). Алгоритм составления определения: называем определяемое понятие, называем родовое понятие, затем видовое отличие, проверяем на правильность, формулируем определение.

Понятие функции и числовой функции. Способы задания функции. Свойства числовых функций: область определения, область значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значение, промежутки монотонности, экстремумы, асимптоты.

Определение функции через соответствие. Способы задания функции: графический, табличный, аналитический, словесный. Недостатки и достоинства способов задания. Вышеперечисленные свойства функций с определениями и примерами. Основные виды функций.

Прямая и обратная пропорциональность. Их свойства и графики.

Строго по материалу лекции и соответствующего параграфа.

Структура теорем. Виды теорем, связанных с данной.

Определение теоремы, отличие от аксиомы. Прямая теорема, обратная теорема, противоположна теорема, обратная к противоположной с определениями и примером на одной из теорем.

Умозаключения и их виды. Схемы дедуктивных умозаключений.

Определение умозаключения. Отличие его от других способов получения знаний. Структура умозаключения. Виды умозаключений: дедуктивные и недедуктивные. Недедуктивные: по аналогии, неполная индукция. Примеры. Дедуктивные: правило отрицания, правило заключения и правило силлогизма. Примеры.

Математические предложения: высказывания и высказывательные формы. Истинностные значения и область истинности. Элементарные и составные математические предложения. Операции над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Примеры, таблицы истинности.

Определение высказывания и высказывательной формы. Отличия между ними. Логические связки. Элементарные и составные высказывания. Операции над высказываниями: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, их определения, таблицы истинности и примеры.

Текстовая задача и процесс ее решения.

Определение текстовой задачи. Структура текстовой задачи: объекты, условия, требования. Виды текстовых задач: определенные, недоопределенные, переопределенные. Примеры. Методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, логический, графический и другие. Этапы решения текстовых задач ( у вас должна быть табличка). Моделирование в процессе решения текстовых зада ч( см. лекцию)

Понятие алгебраической и частично алгебраической операции на множестве. Свойства алгебраических операций.

Определение алгебраической и частично алгебраической операции с примерами. Свойства алгебраических операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, нейтральный, противоположный элемент.

Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись числа и чтение чисел в десятичной системе счисления. Сравнение чисел по их записи.

(см лекцию или учебник)

Алгоритм сложения и вычитания чисел в десятичной системе счисления.

(см лекцию или учебник)

Алгоритм умножения и деления чисел в десятичной системе счисления.

(см лекцию или учебник)

Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше».

(см лекцию или учебник)

Теоретико-множественный смысл суммы и разности натуральных чисел.

(см лекцию или учебник)

Теоретико-множественный смысл произведения и частного натуральных чисел.

(см лекцию или учебник)

Понятие отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел. Свойства отношения делимости. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел (с доказательством).

Понятие отношения делимости. Свойства отношения делимости: рефлексивность, антисимметричность, транзитивность. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел (с доказательством).

Наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) натуральных чисел. Способы их нахождения. Алгоритм Евклида

Общее кратное, наименьшее общее кратное. Общий делитель, наибольший общий делитель. Разложение числа на простые множители. Каноническая форма записи числа. Способы нахождения НОК и НОД, основанные на канонической форме записи числа. Примеры. Алгоритм Евклида. Примеры.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25 в десятичной системе счисления ( с доказательством)

(см лекцию, памятку или учебник)

Простые числа. Решето Эратосфена.

Определение простого и составного числа. Решето Эратосфена для отыскания всех простых чисел.

Величины и их измерение. Величина как особое свойство предметов и явлений. Однородные и разнородные величины. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Правила выполнения действий с именованными величинами.

(см лекцию или учебник)

Понятие длины отрезка и ее измерение. Понятие площади фигуры и ее измерения. Измерение площади фигуры с помощью палетки. Теоремы о площадях некоторых многоугольников.

(см лекцию или учебник)