контрольной работы №8.

Задача 8.1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка, представленная в виде статистического ряда (в первой строке указаны выборочные значения x_i, во второй - соответствующие им частоты n_i). Требуется вычислить выборочное среднее , выборочную дисперсию D_в, исправленную выборочную дисперсию S² и среднеквадратическое отклонение S, эмпирическую функцию распределения.

x_i	2	3	5	6	8	9	10
n_i	4	10	21	30	20	10	5

Решение. Объём выборки равен . Выборочные среднее и дисперсия вычисляются по формулам

Исправленная выборочная дисперсия равна

Тогда "исправленное" выборочное среднеквадратическое отклонение будет

Согласно определению эмпирической функции распределения её значение при лю-бом x равно F_*(x) = n_x⁄100, где n_x - количество элементов x_i выборки, меньших, чем x. Например, при x=-1.3 имеем n_x= 0, F_*(-1.3) = 0; при x =2.7 n_x=4, F_*(2.7)=4/100=0.04; при x=3.2 n_x=4+10=14, F_*(3.2)=0.14; при x =5.8 n_x=4+10+21=35, F_*(5.8)=0.35 и т.д. Тогда

Задача 8.2.

По заданным выборочному среднему и исправленному среднеквадратическому отклонению s найти с доверительной вероятностью g доверительный интервал для математического ожидания M[Х] нормально распределённой СВ X, если: а) s[X] известно (принять s[X]=s); б) s[X] неизвестно. Построить доверительный интервал для s[X]. Число степеней свободы принять равным трём.

=24.3; s =8.2; n = 150; g =0.95.

Решение. а) В случае, когда среднеквадратическое отклонение (СКО) известно

(s [X]=8.2), доверительный интервал для математического ожидания можно запи-сать

где корень уравнения Φ(t) = g/2 = 0.475 отыскивается из таблицы значений функ-ции Лапласа

и равен t = 1.96. Вычисляя величину

находим доверительный интервал (22.98; 25.62).

б) Если СКО неизвестно, в качестве его оценки принимается значение s (s [X] ≈ s), причём значение t определяется из таблицы распределения Стьюдента при g = 0.95 и числе степеней свободы, равном 3 (t=3.18). Тогда доверительный интервал имеет вид (22.17; 26.43).

Доверительный интервал для s [X] запишется

s(1- q) < s [X] < (1 + q)

где q определяется из таблицы q = q(p, n) и для доверительной вероятности g = =0.95 и объёма выборки n=150 равно q = 0.115. Поэтому границы интервала принимают вид

s(1-q) = 8.2(1-0.115) = 7.26, s(1+q) = 8.2(1+0.115) = 9.15,

т.е., 7.26 < s [X] < 9.15.

Задача 8.3.

1.Выборку значений СВ Х, указанную в условии задачи 8.1 сгруппировать, разбивая отрезок [a,b] (а = min х_i; b = max х_i) на 5 интервалов с границами

и подсчитать частоты интервалов.

2. Предполагая, что Х распределена по нормальному закону и принимая в качестве параметров М[X], s[X] их оценки , s вычислить теоретические частоты интерва-лов.

3. С помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости α =0.1проверить, согласуются ли выборочные данные с гипотезой о нормальном распределении величины Х. Число степеней свободы принять равным трём.

Решение. 1. Из статистического ряда задачи 8.1видно, что а=min x_i = 2, в = max x_i = =10, поэтому (в-а)/5=1.6 и границы интервалов будут ξ₀ = 2, ξ₁ = 2+1.6=3.6, ξ₂ = =3.6+1.6=5.2, ξ₃= 5.2+1.6=6.8, ξ₄ = 6.8+1.6= 8.4, ξ₅ = 8.4+1.6=10.

Эмпирическая частота r_j интервала (j =0,..,4) подсчитывается с помощью ряда как число наблюдений, попавших в интервал, отнесённое к объёму выборки n. Так, в первый (j =0) интервал [2;3.6] попало 4+10=14 значений, поэтому r₀ = =14/100 =0.14. Aналогично, r₁= 0.21, r₂=0.3, r₃=0.2, r₄=0.15.

2. Примем в качестве параметров нормального распределения Х вычисленные в задаче8.1 значения точечных оценок

M[X] = = 6.23, s[X] = s = 2.06

Теоретические частоты интервалов (j =0,1,..,4) являются вероятностями

С помощью таблиц интеграла Лапласа находим

3. Вычисляем значение

По таблице распределения χ² Пирсона для доверительной вероятности g = 1-α = 0.9 и числа степеней свободы n = 3 находим значение . Поскольку гипотезу о нормальном распределении СВ Х следует считать не противоречащей выборочным данным.

Задание 8.4.

По заданной корреляционной таблице найти выборочные средние среднеквадратические отклонения s_Χ, s_Υ, коэффициент корреляции ρ_ΧΥ и уравнение линейной регрессии Y на X. Вычислить условные средние по дан-ным таблицы и найти наибольшее их отклонение от значений, вычисляемых из уравнения регрессии.

Y X						n_X






n_Y

Решение. Вычислим выборочные средние и среднеквадратические отклонения для X,Y

Выборочный коэффициент корреляции между Х и У отыскивается по формуле

Согласно таблице

откуда

Выборочное линейное уравнение регрессии У на Х имеет вид

или, с учётом вычисленных значений,

(1)

Условное среднее при x = x_i вычисляется по формуле

где - число выборочных значений y_j, наблюдавшихся при данном x_i . Согласно данным из таблицы находим

Значения условных средних , отыскиваемые по уравнению регрессии (1):

Отклонения значений (2), (3) будут

d₁ = 0-0.45=-0.45; d₂ = 2.6- 1.96 = 0.65; d₃ = -0.51, d₄ = 0.55; d₅ = -0.05;

d₆ = 0.05.

Наибольшее по абсолютной величине отклонение равно 0.65.

С о д е р ж а н и е

1.	Контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	1.1.	Правила оформления контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	1.2.	Выбор варианта контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	1.3.	Задания контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.	Примеры решения задач контрольных работ . . . . . . .
	2.1.	Решение типового варианта контрольной работы № 1 . . . . . . . . .
	2.2.	Решение типового варианта контрольной работы № 2 . . . . . . . . .
	2.3.	Решение типового варианта контрольной работы № 3 . . . . . . . . .
	2.4.	Решение типового варианта контрольной работы № 4 . . . . . . . . .

Учебное издание

Высшая математика

Программа, методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников инженерных и

инженерно-экономических специальностей

приборостроительного факультета

В 2-х частях

Ч а с т ь II

Составители: ИБРАГИМОВ Владислав Ахмедович

СТРЕЛЬЦОВ Сергей Викторович

МЕЛЕШКО Алексей Николаевич

БОКУТЬ Людмила Валентиновна

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78