 |
|
Формули для обчислення дисперсій
| Показник | Формула | Примітка |
| Загальна дисперсія | 
|  - частота ознаки
|
| Міжгрупова дисперсія | 
|  - середня результативної ознаки за кожною i-ою групою;  - частота появи ознаки в i-ій групі;  - номер групи
|
| Середня з внутрішньогрупових дисперсій | 
|  - внутрішньогрупова дисперсія або дисперсія i-ої групи
|
Між видами дисперсій існує взаємозв'язок, називаний правилом складання дисперсій:
= 
+ 
.
Це правило використовується в статистиці для визначення міри тісноти зв'язку між ознаками, що вивчаються.
Приклад 1
За даними типового завдання, розглянутого у темі «Узагальнюючі статистичні показники», визначаються показники варіації.
| Група підприє-мств за чисель-ністю робітників, осіб x | Кількість підпри-ємств f | Група підприємств за чисельністю робітників, осіб x | xf | 
| 
| 
|
| 100-200 | 150-510= =-360 | |||||
| 200-300 | -260 | |||||
| 300-400 | -160 | |||||
| 400-500 | -60 | |||||
| 500-600 | +40 | |||||
| 600-700 | +140 | |||||
| 700-800 | +240 | |||||
| Підсумок | 
| - | 
=40800
| - | - | 
= 1232000
|
Обчисляється таке.
1. Розмах варіації: 
; 
осіб
2. Середнє квадратичне відхилення, зважене звичайним методом за формулою:
.
Розраховується середня за формулою арифметичної зваженої:
.
Необхідні обчислення зробити в таблиці, підставити їх у формули:
осіб;
особи.
Звідси 
, тобто це дисперсія.
3. Коефіцієнт варіації:
,
.
Середня чисельність робітників на підприємствах регіон ( 
осіб) відхиляється від чисельності робітників в окремих групах (x) в середньому на 124 особи ( 
), або 24,8%. Тобто середня є типовою, а сукупність – якісно однорідною.
Приклад 2
Є аналітичне групування залежності середньої заробітної плати робітників від віку.
| Група робітників за віком, років | Число робітни-ків, fi | Середня заробітна плата, грн., у | 
| 
|
| до 20,0 | 280, 320, 360, 350, 290 | |||
| 20,0 – 30,0 | 420, 400, 510, 490, 380, 440, 480,500 | |||
| 30 і старше | 570, 600, 680, 630, 560, 440, 620 | |||
| Усього |
Визначити: 1) загальну, міжгрупову і середню з внутрішньогрупових дисперсій; 2) перевірити правило складання дисперсій.
Загальна дисперсія по заробітній платі розраховується за формулою простої дисперсії: 
,
де 
середня заробітна плата всіх робітників;
грн.,
13450.
Міжгрупова дисперсія:
11700,
де 
- середня зарплата в i-ій групі, представлена в таблиці.
Середня з внутрішньогрупових дисперсій. Розраховуються дисперсії в кожній групі:
;
2025; 
Середня з внутрішньогрупових дисперсій:
.
Правило складання дисперсій: 
= 
+ ;13450 = 11700 + 1750.
Необхідно звернути увагу на те, що у співставленні варіант і частот виявляється закономірність розподілу. Індивідуальними характеристиками ряду розподілу є абсолютна чисельність одиниць в окремій групі – f, а також відносні величини частот – частості:
Додатковою характеристикою варіаційних рядів є кумулятивна частота, яка визначена шляхом послідовних об'єднань груп і суми їх частот відповідно.
Якщо варіаційний ряд інтервальний з нерівними інтервалами, то частотні характеристики таких рядів незрівняні, і в аналізі розподілу використовують щільність розподілу (ξ) на одиницю частоти (частості):
або 
,
розрахунок яких показує, як змінюється щільність зі збільшенням інтервалу.
Форма розподілу залежить від співвідношення частот і значень варіантів ознак. Розподіл може бути одно-, дво- і багатовершинним. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності. Розподіл якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинний, серед яких є симетричні і асиметричні (скошені).
Простою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною, медіаною (Ме) та модою (Мо).
При симетричному розподілі характеристики мають однакові значення, тобто
.
При асиметричному розподілі між ними існують певні відмінності:
при правосторонній асиметрії
;
при лівосторонній асиметрії
.
Стандартизовані відхилення 
або 
характеризують напрям і міру скошеності (асиметрію):
А=0 розподіл симетричний;
А>0 правостороння асиметрія;
А<0 лівостороння асиметрія.
Як узагальнюючі характеристики розподілу використовують моменти (m), які бувають:
а) первинні, коли а = 0; б) центральні, коли а = 
.
Міра при розрахунку моментів визначає порядок моменту (першого, другого і т.д. порядків).
На основі розрахунку центральних моментів третього і четвертого порядків обчислюють для характеристики форм розподілу:
стандартизованный коефіцієнт асиметрії
,
коефіцієнт ексцесу
,
де m 3 и m 4 - центральні моменти відповідно третього і четвертого порядків.
Якщо:
А>0,5 , асиметрія висока;
А < 0,5 - середня;
А< 0,25 - низька.
Якщо:
Е = 3, розподіл симетричний, близький до нормального;
Е >3 - гостровершинний;
Е <3 - плосковершинний.
Оцінка концентрації розподілу відбувається на основі розрахунку коефіцієнта концентрації:
.
При К = 0 розподіл рівномірний, К = 1 - при повній концентрації. У інших випадках К буде тим більше, чим більша міра концентрації.
Приклад 3
За даними завдання, розглянутого у прикладі 1, визначається коефіцієнт асиметрії.
| Група підприємств за чисельністю робітників, осіб x | Кількість підприємств f | 
| 
| 
|
| -3 | ||||
| -2 | ||||
| -1 | ||||
| Підсумок |
| - | - | 
= 152
|
При розв’язанні прикладу 3 у темі «Узагальнюючі статистичні показники» було визначено: осіб; 
осіб; 
. Визначається середнє квадратичне відхилення, застосовуючи метод моментів, за формулою:
.
Для обчислення 
необхідні обчислення розміщаються в таблиці (А = 450; i = 100):
;
особи.
Визначається коефіцієнт асиметрії за формулою:
.
Ступінь асиметрії оцінюють за значенням Кас, який змінюється від -3 до +3:
при симетричному (нормальному) розподілі 
, тобто Кас =0;
при 
більше моди, тобто, наявна правостороння асиметрія;
при 
менше моди, тобто наявна лівостороння асиметрія.
У даному ряді розподілу наявна незначна правостороння асиметрія.
Завдання 5.1
У результаті 4% вибіркового обстеження комерційних банків щодо розміру прибутку за рік отримано такий розподіл.
| Розмір прибутку, млн. грн. | Кількість банків |
| 4,7-5,6 | |
| 5,6-6,5 | |
| 6,5-7,4 | |
| 7,4-8,3 | |
| більше 8,3 | |
| Разом |
За даними вибіркового спостереження визначити:
- середній розмір прибутку банку;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.2
Проведено 5% вибіркове обстеження комерційних фірм щодо витрат на рекламу в газеті «Імідж». Результати представлено у таблиці.
| Група фірм за витратами на рекламу, ум. грош. од. | Кількість фірм |
| до 15 | |
| 15-20 | |
| 20-25 | |
| 25-30 | |
| 30 і більш | |
| Разом |
За даними вибіркового обстеження обчислити:
- середній розмір витрат на рекламу фірмою;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
- Зробити висновки.
Завдання 5.3
Для вивчення тривалості користування кредитом проведене 2% вибіркове обстеження підприємств за методом випадкового безповторного відбору.
Результати обстеження показали такий розподіл підприємств за тривалістю користування кредитом.
| Група підприємств за тривалістю користування кредитом, дні | Кількість підприємств |
| до 35 | |
| 35-40 | |
| 40-45 | |
| 45-50 | |
| більше 50 | |
| Разом |
За даними вибіркового спостереження визначити:
- середню тривалість користування кредитом;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.4
Для визначення середньої суми внеску в ощадбанках району, що має 9000 вкладників, проведена 10% механічна вибірка, результати якої представлено у таблиці.
| Група вкладів за розміром, тис. грн. | Число вкладників, осіб |
| до 2 | |
| 2-4 | |
| 4-6 | |
| 6-8 | |
| 8 і більше | |
| Разом |
За даними вибіркового обстеження обчислити:
- середній розмір внеску;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.5
Для вивчення вікової структури робітників фірми за станом на 1 липня було проведено 5% вибіркове обстеження методом випадкового безповторного відбору.
Результати обстеження показали такий розподіл робітників за віком.
| Група робітників за віком, років | Чисельність робітників, осіб |
| до 20 | |
| 20-30 | |
| 30-40 | |
| 40-50 | |
| 50 років і старше | |
| Разом |
На підставі даних вибіркового обстеження обчислити:
- середній вік робітника;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.6
Для вивчення норм виробітку робітників-верстатників на підприємстві було проведено 10% вибіркове спостереження.
У механічному порядку обстежено 400 робітників, які показали витрати часу на обробку деталі.
| Витрат часу на одну деталь, хв. | Чисельність робітників, осіб |
| до 14 | |
| 14-16 | |
| 16-18 | |
| 18-20 | |
| 20 і вище | |
| Разом |
За даними вибіркового спостереження визначити:
- середні витрати часу на обробку однієї деталі;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.7
З метою контролю якості продукції проведено вибіркове обстеження партії готових виробів. При механічному (безповторному) способі відбору 5% виробів встановлено, що 20 одиниць віднесено до нестандартної продукції, а розподіл вибіркової сукупності за вагою виявився таким.
| Вага виробу, г | Кількість зразків, од. |
| до 300 | |
| 300-320 | |
| 320-340 | |
| 340-360 | |
| більше 360 | |
| Разом |
На підставі вибіркових даних обчислити:
- середню вагу виробу;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.8
Для визначення середнього відсотка виконання норми вироблення на підприємстві була проведена 10% механічна вибірка, результати якої представлено в таблиці.
| Відсоток виконання норми виробітку | Чисельність робітників, осіб |
| до 90 | |
| 90-100 | |
| 100-110 | |
| 110-120 | |
| 120-130 | |
| Разом |
За даними вибіркового обстеження обчислити:
- середній відсоток виконання норми виробітку одним робітником;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.9
Для визначення середнього доходу на одного члена сім'ї в районі було проведено 5% вибіркове обстеження методом випадкового безповторного відбору. Результати обстеження показали такий розподіл населення за доходами на одного члена сім'ї.
| Доход, грн. | Питома вага групи в загальній чисельності населення, у % |
| До 800 | 20,0 |
| 800-1000 | 25,0 |
| 1000-1200 | 30,0 |
| 1200 і вище | 25,0 |
| Разом | 100,0 |
За даними вибіркового обстеження визначити:
- середній дохід на одного члена сім'ї;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.10
У результаті вибіркового аналізу 50 проб цукру, який надійшов в торгівельну мережу регіону, встановлена довжина кристалів (мм).
| Довжина кристалів, мм | Кількість проведених проб | ||||
| до 1,2 | |||||
| 1,2-1,5 | |||||
| 1,5-1,8 | |||||
| 1,8 і довше |
На основі даних за варіантами обчислити звичайним методом і методом моментів:
- середню довжину кристалів цукру;
- дисперсію;
- середнє квадратичне відхилення;
- коефіцієнт варіації.
Зробити висновки.
Завдання 5.11
За наведеними даними розрахувати види дисперсій за випуском продукції. Перевірити правило взаємозв'язку між дисперсіями.
| Підпри-ємство | Форма власності | Валовий випуск продукції, тис. грн. | Підприє-мство | Форма власності | Валовий випуск продукції, тис. грн. |
| Колективна | Колективна | ||||
| Державна | Приватна | ||||
| Державна | Колективна | ||||
| Колективна | Колективна | ||||
| Державна | Приватна | ||||
| Приватна | Колективна | ||||
| Колективна | Колективна | ||||
| Колективна | Колективна | ||||
| Колективна | Державна | ||||
| Приватна | Державна |
Завдання 5.12
На основі вихідних даних визначити:
- міжгрупову дисперсію результативного чинника;
- загальну дисперсію.
На основі правила складання дисперсій визначити середню з групових дисперсій.
| № п/п | Витрати на 1 грн. вартості продукції, коп | Фондовіддача, грн. |
| 70,5 | 1,25 | |
| 69,4 | 1,34 | |
| 80,0 | 1,20 | |
| 66,8 | 1,52 | |
| 70,1 | 1,42 | |
| 65,0 | 1,50 | |
| 79,2 | 1,36 | |
| 68,4 | 1,56 | |
| 70,3 | 1,40 | |
| 74,6 | 1,48 |
ТЕСТИ
1. Який з показників варіації дає найбільш порівнянну абсолютну оцінку варіації ознаки?
1) Лінійне відхилення.
2) Середнє квадратичне відхилення.
3) Коефіцієнт варіації.
2. Дисперсія зважена:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
3. Середнє квадратичне відхилення зважене?
1) 
; 2) 
; 3) 
4. Середнє квадратичне відхилення просте?
1) 
; 2) 
; 3) 
.
5. У яких одиницях вимірюється коефіцієнт варіації?
1) Грошова одиниця.
2) Відсотки.
3) Що й варіююча ознака.
4) Коефіцієнти.
6. Який показник визначається за формулою: 
?
1) Загальна дисперсія.
2) Середня з внутрішньогрупових дисперсій.
3) Міжгрупова дисперсія.
4) Коефіцієнт асиметрії.
7. Який показник визначається за формулою 
?
1) Загальна дисперсія.
2) Міжгрупова дисперсія.
3) Середня з групових дисперсій.
4) Коефіцієнт асиметрії.
8. Який показник визначається за формулою 
?
1) Середнє лінійне відхилення.
2) Розмах варіації.
3) Дисперсія альтернативної ознаки.
4) Середня альтернативної ознаки.
9. Який показник можна визначити за формулою 
?
1) Розмах варіації.
2) Дисперсія.
3) Середнє лінійне відхилення просте.
4) Середнє квадратичне відхилення зважене.
10. Вказати формулу спрощеного способу розрахунку дисперсії.
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) .
Тема 6. СТАТИСТИЧНІ МЕТОДИ ВИМІРЮВАННЯ ВЗАЄМОЗВ'ЯЗКІВ
Усі явища у суспільному житті існують не ізольовано, а у нерозривному зв'язку, тобто залежать одне від одного. При цьому виділяються факторні (х) і результативні (у) ознаки.
Для кількісних ознак залежності між окремими явищами можуть бути:
- функціональними, коли певному значенню однієї змінної, чиннику (х), відповідає певне значення результативної ознаки (у);
- кореляційними (статистичними), коли із зміною факторної ознаки (х) змінюються групові середні результативної ознаки (у).
Основним моментом у вивченні зв'язків між явищами є встановлення їх суті на основі пізнання якісних характеристик явищ, їх зв'язків.
Наявність або відсутність зв'язків можна виявити, використовуючи:
▪ метод аналітичних групувань;
▪ графічний метод;
▪ побудову та аналіз кореляційних таблиць;
▪ кореляційний аналіз.
У кореляційно-регресійному аналізі лінії регресії відображають не окремими точками, як в аналітичних групуваннях, а в кожній точці інтервалу зміни факторного значення (х). Лінія регресії зображується у вигляді певної функції: у = f(x), яка називається рівнянням регресії, де у – теоретичне значення результативної ознаки.
Серед безлічі функцій найбільш поширеною у статистичному аналізі є лінійна 
, що пояснюється її простотою і змістовністю.
Для визначення за даними парної кореляції параметрів лінійної регресії треба розв’язати систему нормальних рівнянь для знаходження параметрів а і b:
.
Інколи для знаходження параметрів а і b використовують спосіб визначників:
; 
або 
; 
.
Після знаходження параметрів (а і b), це вже рівняння не регресії, а кореляційне, яке можна використовувати в прогнозуванні результативної ознаки (у) при певному значенні чинника (х): 
. Методику розрахунків викладено в таблиці.
| № п/п | Дохід від реалізац, тис. грн. х | Витрати обігу тис. грн. у | х2 | ху | у2 | Вирівняне (теоретично) значення витрат обігу,
тис. грн.
|
| 
| 
| 
| 
| 
|
Виміряти щільність зв'язку між корелюючими величинами (х и у) можна за допомогою кореляційного відношення (η) і коефіцієнта кореляції (r).
1. Кореляційне відношення застосовне до всіх випадків кореляційної залежності, незалежно від форми цього зв'язку. Загальний вигляд формули кореляційного відношення:
,
де η - кореляційне відношення;
η2 - коефіцієнт детермінації.
В основі числення цих показників лежить правило додавання дисперсій, згідно з яким загальна дисперсія (σ2) дорівнює сумі міжгрупової ( 
) і середньої з групових дисперсій ( 
):
σ2= 
+ ,
де 
- загальна дисперсія, що характеризує вплив усіх чинників на результативну ознаку (у);
- міжгрупова дисперсія, що характеризує вплив чинника (х), який вивчається, на результативну ознаку (у);
- середня з групових дисперсій, яка характеризує вплив інших чинників на результативну ознаку (у);
- загальна середня;
- групові середні;
n - число даних, які обстежують в цілому;
fi - число обстежених одиниць у кожній групі;
.
Кореляційне відношення може бути обчислене як:
емпіричне, на основі фактичних даних:
теоретичне, що обчислюється після знаходження параметрів (а і b), тобто після розв’язання функцій і знаходження теоретичних (вирівняних) значень результативної ознаки ( 
):
,
де 
- дисперсія теоретичних значень результативної ознаки, що характеризує міру впливу факторної ознаки (х) на результативну ( 
); 
- теоретичне значення результативної ознаки, вирівняне.
Оскільки:
,
де 
– залишкова дисперсія, то ηТ може бути обчислено за формулою
і носитиме назву в цьому випадку індексу кореляції.
Чим ближче значення η до 1, тим вища, щільніша залежність між у та х. Чим ближче η до 0, тим залежність менша.
При:
η < 0,3 говорять про слабку залежність між корельованими величинами;
0,3 < η <0,6 говорять про середню щільність зв'язку між х і у;
η > 0,6 говорять про високу (істотну) залежність.
2. Лінійний коефіцієнт кореляції (r), який використовується як показник тісноти зв'язку лише при лінійному зв'язку між х і у.
Його можна обчислити за формулами:
,
де r - коефіцієнт кореляції, значення якого коливається від -1 до +1 і характеризує не лише тісноту зв'язку, але і його напрям (“-” - обернена залежність, “+” - пряма залежність між х і у );
; 
; 
;
; 
;
; 
n - кількість ознак.
Для якісної оцінки щільності зв'язку використовують таблицю Чеддока.
| Значення коефіцієнта кореляції | 0,1 – 0,3 | 0,3 – 0,5 | 0,5 – 0,7 | 0,7 – 0,9 | 0,9 – 0,99 |
| Характеристика тісноти зв'язки | слабка | помірна | помітна | висока | дуже висока |
З суті щільності зв'язку випливає, що чисельне значення може знаходитися лише в межах ±1. Близькість до 1 коефіцієнта кореляції говорить про близькість до функціональної залежності, а близькість до 0 - про слабку залежність.
Приклад 1
З 12 підприємств отримано дані про річну продуктивність праці робітника (тис. грн.) і озброєність праці основним капіталом (тис. грн. /особу.).
На підставі приведених даних: 1) оцінити щільність зв'язку між показниками за допомогою коефіцієнта Фехнера і коефіцієнта рангової кореляції Спірмена; 2) виявити залежність і тісноту зв'язку між показниками за допомогою парного кореляційно-регресійного аналізу. Зробити висновки.
Вихідні дані та необхідні для розв’язання прикладу розрахунки викласти в табл. 1 та табл. 2.
1. Для визначення коефіцієнта Фехнера розраховуються середні значення ознак:
тис. грн/ос., 
тис. грн.
Визначають знаки відхилень від середньої, тобто знаки 
та 
,і заносять в таблицю (гр. 3 та 4), а потім підраховують число співпадань і не співпадань знаків відхилень (гр. 5). Тоді: 
. Коефіцієнт, який дорівнює 0,5, свідчить про наявність прямої і помірної залежності між продуктивністю та капіталоозброєністю праці.
Для визначення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена ( 
) проранжовують в порядку зростання факторну і результативну ознаки, тобто визначають Rх и Rу і заносять їх у гр. 6 и 7 таблиці 1. Потім розраховують 
і заносять у гр. 8 таблиці. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена буде дорівнювати:
.
Щільність зв'язку між аналізованими показниками пряма і досить тісна.
Розрахункова таблиця для визначення непараметричних показників щільності зв'язку
| № під-приємства | Капіталоозброєність праці, тис. грн/осіб, х | Річна продуктивність праці, тис. грн., у | Знак відхилення від середньої | Число співпадань (неспівпадань) знаків | Ранг |
 
| ||
факторна ознака 
| результа-тивна ознака 
| за х Rx | за у Rу | |||||
| А | ||||||||
| 360,0 | 15,2 | + | + | С | ||||
| 298,0 | 12,8 | - | - | С | ||||
| 328,0 | 13,8 | - | Н | |||||
| 330,0 | 14,0 | + | С | |||||
| 366,0 | 16,3 | + | + | С | ||||
| 316,0 | 12,6 | - | - | С | ||||
| 334,0 | 13,2 | + | - | Н | ||||
| 300,0 | 12,9 | - | - | С | ||||
| 314,0 | 13,1 | - | - | С | ||||
| 320,0 | 12,5 | - | - | С | ||||
| 362,0 | 15,7 | + | + | С | ||||
| 332,0 | 13,5 | + | - | Н | ||||
| Усьо-го | 3960,0 | 165,6 |
На першому етапі вживання методики парного кореляційного аналізу перевіряють, чи виконуються вимоги, що ставляться до факторної і результативної ознак.
Однорідність розподілів. Усі проміжні розрахунки представлені в наступній таблиці.
; 
;
;
; 
.
Коефіцієнти варіації ( 
и 
) менше 33%, що підтверджує гіпотезу про статистичну однорідність капіталоозброєності і продуктивності праці.
Вибирається форма зв'язку між ознаками. Для цього будується кореляційне поле (рис. 3).
За розміщенням точок на кореляційному полі вибирається лінійна форма зв'язку, тобто рівняння зв'язку буде: 
.