Формули граничних помилок вибірки для середньої і частки

Помилка	Формула
повторний відбір	безповторний відбір
Гранична помилка для вибіркової середньої
Гранична помилка для вибіркової частки

Коли визначено формули граничних помилок вибірки, встановлюють межи, кордони, в яких знаходяться генеральні узагальнюючі характеристики - і р. Кордони генеральних характеристик визначають за формулами:

для середньої , звідки ,

для частки , звідки .

Чисельність вибірки визначається розмірами граничної помилки (Δ), величиною коефіцієнта довіри (t) і величиною дисперсії .

Тому формули визначення чисельності вибіркової сукупності можуть бути отримані після деяких перетворень формул граничних помилок вибіркової середньої і частки. При перетворенні формули граничної помилки вибіркової характеристики (частки або середньої) на формулу чисельності вибірки потрібно встановити, чому дорівнюватиме n, розглядаючи її як невідому величину.

Треба визначити необхідну чисельність вибірки для середньої при повторному способі відбору за формулою граничної помилки:

Зводяться дві частини рівняння в квадрат, виходить:

Звідси .

Формули розрахунку необхідної чисельності вибірки наведено в таблиці.

Формули визначення чисельності вибірки для середньої і частки

Помилка	Формула
повторний відбір	безповторний відбір


Чисельність вибірки для середньої
Чисельність вибірки для частки

Приклад 1

Передбачається, що партія цукру, який поступив, складається з 2000 одиниць. Визначити необхідний обсяг вибірки, аби з вірогідністю 0,954 можна було встановити частку браку з помилкою не більше 3%, маючи на увазі, що відбір буде випадковим безповторним.

Відповідними символами позначаються дані:

N = 2000;

= 3% або 0,03;

Р = 0,954;

t = 2.

Для розрахунку необхідної чисельності використовується формула:

Підставляються значення, маючи на увазі, що оскільки немає даних про , то береться її максимальне значення, що дорівнює 0,25:

n_p = 2000 · 4 · 0,25 / 0,0009 · 2000 + 4 · 0,25 = 2000 / 2,8 = 714 од.

Таким чином, щоб одержати помилку вибірки для частки браку в партії цукру не більше 3%, слід досліджувати вибірково 714 одиниць товару.

Приклад 2

Для встановлення середньої витрати часу на обслуговування покупців було відібрано механічним методом 300 із 3000 продавців. Середня величина витрат часу за вибірковими даними склала 14 хвилин, при середньоквадратичному відхиленні хвилин.

Визначити з імовірністю 0,997, в яких межах знаходиться середня величина витрат часу на обслуговування одного покупця в генеральній сукупності продавців.

Робиться короткий запис умови завдання:

N = 3000 продавців n = 300 продавців

хвилин

(p = 0,997)

Величина граничної помилки середньої визначається за формулою для безповторного способу відбору:

хв.

Межі, в яких знаходиться середня витрат часу на одного покупця за вибірковим дослідженням:

Приклад 3

Для встановлення частки (питомої ваги) стандартної продукції у загальній партії холодильників, яка складається з 5000од., у результаті випадкового безповторного методу перевірено 500 холодильників і встановлено, що тільки 450 з них відповідають вимогам стандартів.

Визначити з імовірністю 0,954, в яких межах знаходиться частка стандартних холодильників в усій партії товару.

Робиться короткий запис умови завдання:

N = 5000 од. n = 500 од.

од.

(p = 0,954)

Визначити:

1) частку стандартних холодильників у вибірковій сукупності

або 90%.

2) граничну помилку для частки за формулою безповторного способу відбору:

;

3) встановити межі, в яких буде знаходитися частка стандартних холодильників у генеральній сукупності (N = 5000 од.) за вибірковими даними:

Приклад 4

Із 2000 спеціалізованих продовольчих магазинів міста треба відібрати якусь їх кількість для того, щоб визначити середньоденну чисельність покупців на один магазин. Помилка вибірки з імовірністю 0,954 не повинна перевищувати осіб при середньоквадратичному відхиленні 30 осіб. Скільки магазинів необхідно відібрати?

Робиться короткий запис умови завдання:

N = 2000

осіб

(p = 0,954)

осіб

Чисельність магазинів для вибіркового обстеження визначається за формулою безповторного методу відбору:

магазинів.

Приклад 5

Для вивчення забезпеченості підприємств основними виробничими фондами було проведено 10% вибіркове спостереження, в результаті якого було отримано такі дані про розподіл підприємств за вартістю основних виробничих засобів.

Група підприємств за середньорічною вартістю основних виробничих засобів, млн.грн	Кількість підприємств
до 2 2-4 4-6 6 і більше
Разом

Визначити:

- з імовірністю 0,997 граничну похибку вибіркової середньої і межі, в яких буде знаходитися середньорічна вартість основних виробничих засобів усіх підприємств генеральної сукупності;

- з імовірністю 0,954 граничну похибку вибірки при визначенні частки і межі, в яких буде знаходитись частка підприємств з вартістю основних засобів більше 4 млн. грн.

Розв’язання.

Група підприємств за середньорічною вартістю основних засобів, млн. грн	Кількість підпри-ємств, f	Середина інтервалу, Х	Х * f		( )²	( )²*f
0-2 2-4 4-6 6-8				-3,52 1,52 0,48 2,48	12,39 2,31 0,23 6,15	61,95 27,72 5,29 61,5
Разом		-		-	-	156,46

Розмір граничної похибки вибірки, тобто похибка репрезентативності, визначається за формулою

При р = 0,997, t = 3.

Середня похибка середньої величини:

= - для повторної вибірки;

= - для безповторної вибірки, n = 50; N = 500;

- вибіркова дисперсія;

млн. грн.

Визначається розмір середньої похибки середньої:

= = 0,25 млн. грн. - для повторної вибірки;

= = ± 0,23 млн. грн. – для безповторної вибірки.

Визначається розмір граничної похибки середньої величини:

а) для повторної вибірки:

= ± 3 * 0,25 = ± 7,5 млн. грн.;

б) для безповторної вибірки

= ± 3 * 0,23 = ± 6,9 млн. грн.

Методику встановлення межі, в якій знаходиться середня величина показника, що вивчається в генеральній сукупності у загальній формі, можна подати таким чином:

а) для повторної вибірки:

= 4,52 ± 0,25 Þ 4,27 £ £ 4,77 млн. грн.;

б) для безповторної вибірки:

= 4,25 ± 0,23 Þ 4,29 £ £ 4,75 млн. грн.

З імовірністю 0,997 можна стверджувати, що середньорічна вартість основних виробничих засобів усіх підприємств буде знаходитись у межах від 4,27 до 4,77 млн. грн. (при повторному відборі) або від 4,29 до 4,75 млн. грн. (при безповторному відборі).

Визначення меж при встановленні частки проводиться аналогічно:

Р = w ± ∆w ,

де ∆w – розмір граничної похибки частки.

∆w = t ,

де - середня похибка частки.

t = 2 (р = 0,954).

Визначається :

а) для повторної вибірки: ;

б) для безповторної вибірки: ,

де w – вибіркова частка:

m – кількість одиниць, що мають певні ознаки (m = 33);

n – вибіркова сукупність (n = 50);

w = = 0,66, або 66% ;

а) ; б)

Звідси:

а) ∆w = ± 2 * 0,067 = ± 0,134, або ± 13,4%;

б) ∆w = ± 2 * 0,064 = ± 0,128, або ± 12,8%.

Таким чином:

а) Р = 66% ± 13,4%; 52,6% £ Р £ 79,4%;

б) Р = 66% ± 12,8%; 53,2% £ Р £ 78,8%.

З імовірністю 0,954 можна стверджувати, що частка підприємств з вартістю основних виробничих засобів більше 4млн.грн. у генеральній сукупності буде знаходитися у межах:

для повторного відбору: від 52,6 до 79,4%;

для безповторного відбору від 53,2 до 78,8%.

Завдання 7.1

Перевірено вміст жиру в 20 партіях коров'ячого молока. Середній % жиру дорівнює 3,0%, середнє квадратичне відхилення 1,1%.

Обчислити з імовірністю 0,954 (t = 2) середню і граничну помилок вибірки; межі, в яких знаходиться середня (відбір безповторний).

Завдання 7.2

Проведено дослідне ношення взуття 200 жінками. Спостереження показало, що середній термін ношення взуття становить 9 місяців (270 днів) при середньому квадратичному відхиленні 15 днів.

Обчислити з імовірністю 0,997 (t = 3) середню граничну помилку вибірки, межі, в яких знаходиться генеральна середня.

Завдання 7.3

Обчислити, скільки магазинів потрібно взяти у вибіркове дослідження для визначення товарообороту на 1 м² торгівельного залу. Помилка вибірки з імовірністю 0,954 не повинна перевищувати +0,2 тис. грн. При середньому квадратичному відхиленні 0,5 тис. грн.

Завдання 7.4

Розміри костюмів встановлюються, виходячи з низки антропологічних показників, наприклад, зросту.

Визначити, скільки потрібно відібрати дорослих чоловіків для визначення їх середнього зросту з тим, аби помилка вибірки не перевищувала 1 см, дисперсія при цьому дорівнює 36.

Завдання 7.5

Визначити, скільки потрібно відібрати магазинів типу «Універсам», аби обчислити вибіркову середньорічну кількість покупців. Помилка вибірки з імовірністю 0,997 не повинна перевищувати + 15 осіб при середньому квадратичному відхиленні, що дорівнює 200 осіб.

Завдання 7.6

Було проведено вибіркове опитування групи студентів (25 осіб) взимку і весною про розподіл бюджету часу. Дослідження показало, що в середньому щодня студенти витрачають на самостійну роботу 3 години при середньому квадратичному відхиленні 0,3 години.

Визначити з вірогідністю 0,954 (t = 2) середню і граничну помилку вибірки, а також інтервал, в якому знаходиться генеральна середня витрат часу на самостійну роботу.

Завдання 7.7

На оптову базу надійшло 2800 одиниць трикотажних виробів 1сорту.

Було перевірено на відповідність вимогам якості Держстандарту 200 одиниць.

Результати перевірки показали, що 40 виробів не відповідають за окремими показниками вимогам стандартів, тому їх перевели у 2-й сорт.

Визначити з вірогідністю 0,954 (t = 2) генеральну долю і кількість виробів 2 сорту у генеральній сукупності виробів.

Завдання 7.8

Для встановлення частки стандартних банок у всій партії рибних консервів, які складаються з 5000 од., у порядку безповторної вибірки перевірено 500 банок. У результаті встановлено, що в 450 банках якість продукції відповідає стандартам.

Визначити з вірогідністю 0,997 (t = 3), в яких межах знаходиться частина стандартних банок у генеральній сукупності.

Завдання 7.9

Вибіркове спостереження 120 партій тканини, які відносили до першосортних, показало, що 25 з них мають дефекти та їх потрібно перевести у 2 сорт.

З вірогідністю 0,997 визначити середню і граничну помилки вибірки, а також межі, в яких знаходиться генеральна середня.

Завдання 7.10

Для вивчення виконання норм виробітку касирів магазинів об’єднання проведено 10% вибіркове обстеження. При механічній вибірці отримано такі дані про розподіл касирів за відсотком виконання норм виробітку.

Виконання норм, %	Чисельність касирів
до 90 90-100 100-110 110-120 120 і вище

На основі показників вибірки визначити в цілому:

- з вірогідністю 0,997 можливі межі частки касирів, що виконують норми виробітку;

- з вірогідністю 0,954 можливі межі, в яких очікується середній відсоток виконання касирами норм виробітку.

Вказівка. Для визначення у пункті 2 середньої помилки вибіркової середньої необхідно за наведеними даними ряду розподілу обчислити середній відсоток виконання норм виробітку і середнє квадратичне відхилення.

Завдання 7.11

При 5% вибірковому обстеженні партії товару, що надійшов, встановлено: 320 одиниць з обстежених 400 зразків (відібраних за схемою механічної обробки) віднесено до стандартної продукції, а розподіл зразків вибіркової сукупності за вагою.

Вага виробу, г	Кількість зразків, шт
До 3000 3000-3100 3100-3200 3200-3300 3300 і вище
Разом

За показниками вибіркової сукупності встановити для всієї партії товару:

- з вірогідністю 0,954 можливі межі питомої ваги стандартної продукції;

- з вірогідністю 0,997 можливі межі середньої ваги одного виробу.

Вказівка. Для визначення у пункті 2 середньої помилки вибіркової середньої необхідно за даними ряду розподілу визначити середню вагу одного виробу і середнє квадратичне відхилення.

Завдання 7.12

Для виявлення розміру наданих кредитів державні та комерційні банки регіону провели 5% типову вибірку з відбором одиниць пропорційно чисельності типових груп (у кожній з груп використовувався метод випадкового безповторного відбору). Результати обстеження подано у таблиці.

Тип банку	Кількість наданих кредитів, тис.	Середній розмір кредиту, тис. грн.	Середнє квадратичне відхилення
Державні Комерційні		16,8 31,0

Визначити:

- з імовірністю 0,997 інтервал, в якому знаходиться середній розмір наданих кредитів усіма банками регіону;

- необхідний обсяг вибірки при визначенні середнього розміру наданих кредитів, щоб з імовірністю 0,997 гранична похибка вибірки була не більше 0,8 млн. грн.

Завдання 7.13

На основі 10% безповторного відбору вміст жиру в 20 партіях молока надано в таблиці. Визначити за окремими постачальниками та кварталами:

- середній вміст жиру в молоці;

- середнє квадратичне відхилення і дисперсію вмісту жиру;

- з імовірністю 0,997 („На здоров’я”); 0,9907 („Т-МОЛОКО”); 0,6827 („Справжне молоко”); 0,9876 („Фані”); 0,9545 („Рудий АП”); 0,9990 („Павлоградський молокозавод”); 0,9109 („Ласуня”) граничну похибку вибірки та довірчий інтервал, в якому знаходяться середній вміст жиру в молоці.

Постачальник	Вміст жиру, %	Кількість партій
І – й варіант	ІІ – й варіант	ІІІ – й варіант	ІV – й варіант
А
„ На здоров’я ”	2,2	3,4	1,0	3,0
2,8	2,3	2,0	2,3
3,0	5,2	1,3	2,5
3,2	2,3	2,3	2,7
„Т-МОЛОКО”	3,4	1,0	2,2	2,8
2,3	2,0	2,8	3,0
5,2	1,3	3,0	2,9
2,3	2,3	3,2	2,9
„ Справжнє молоко ”	3,0	5,0	1,0	6,0
2,9	4,0	2,0	2,2
2,5	1,2	1,3	2,8
2,6	3,0	2,3	3,0
„ Фані ”	1,3	3,4	1,3	3,2
2,3	2,3	2,3	2,5
5,0	5,2	5,0	2,6
4,0	2,3	4,0	1,3
„Рудий АП”	2,5	1,2	1,3	2,8
2,6	3,0	2,3	3,0
1,3	3,4	1,3	3,2
2,3	2,3	2,3	2,5
2,3	2,3	2,3	2,5
Павлоград-ський молокозавод	5,0	5,2	5,0	2,6
4,0	2,3	4,0	1,3
2,5	1,2	1,3	2,8
5,2	1,3	3,0	2,9
„ Ласуня ”	2,3	2,3	3,2	2,9
3,0	5,0	1,0	6,0
2,9	4,0	2,0	2,2
1,3	3,4	1,3	3,2