Здавалка
Главная | Обратная связь

ШЕЙЧЕНКО ЕВГЕНИЯ АЛЕКСАНДРОВИЧА

Министерство образования и науки Российской Федерации

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

 

 

Кафедра метеорологии и климатологии

 

 

 

 

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МЕТЕОДАННЫХ

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

 

 

специальность 020602 – Метеорология

 

студента 3 курса географического факультета

 

ШЕЙЧЕНКО ЕВГЕНИЯ АЛЕКСАНДРОВИЧА

 

Саратов 2012

 

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

 

Таблица 1. Среднегодовые температуры города Штутгарт

 

Год Температура, °С
10,3
8,4
8,2
9,6
8,6
9,8
9,8
9,0
8,9
9,0
9,5
8,7
9,2
10,0
9,8
9,8
9,9
8,8
9,4
9,0
9,6
10,0
10,1
9,1
9,0
9,4
9,1
10,4
10,7
10,8

 

Таблица 2. Среднегодовые температуры города Мюнхен

 

Год Температура, °С
8,9
7,2
7,0
8,0
7,5
8,8
8,9
8,2
7,5
7,5
7,6
7,2
7,5
8,5
8,1
7,8
8,5
7,3
7,9
7,3
8,0
8,3
8,5
7,3
7,1
7,7
7,5
8,9
9,0
9,0

 

ЗАДАНИЯ

 

1. Построить график изменения среднегодовой температуры в г.Штутгарт. Найти максимальное минимальное значение температуры, а также величину амплитуды.

2. Проверить статистическую однородность ряда, разделив его на две половины, с использованием сравнения 95% доверительных интервалов для математических ожиданий и критерия Фишера при уровне значимости α=0,01.

3. Построить гистограмму частот, используя k=6 градаций. Построить суммарную гистограмму частот. С использованием гистограммы частот рассчитать среднее значение Tср, среднеквадратичное отклонение D, вариацию С, асимметрию и эксцесс. Дать заключение о характере плотности вероятности ряда.

4. Проверить гипотезу о нормальности распределения с использованием критерия χ2 Пирсона для уровня значимости α=0,05.

5. Получить точечные оценки математического ожидания и среднеквадратичного отклонения по полной выборке и их среднеквадратичные отклонения, а также 95% доверительные интервалы для математического ожидания и среднеквадратичного отклонения по полной выборке.

6. Построить корреляционную диаграмму и рассчитать коэффициент линейной корреляции изменений среднегодовых температур в г. Штутгарт и г.Мюнхен. Оценить погрешность найденного коэффициента линейной корреляции.

7. Рассчитать коэффициенты уравнения линейной регрессии значений ряда по времени и оценить их погрешности. Проверить гипотезу о наличии линейного тренда в изменениях среднегодовых температур. Нанести линию регрессии на график изменения среднегодовой температуры.

 

ЗАДАНИЕ № 1

 

Максимальное значение температуры составляет 10,8°С.

Минимальное значение температуры составляет 8,2°С.

Амплитуда равна 2,6° С.

 

Рисунок 1. График изменения среднегодовой температуры в г. Штутгарт

 

 

ЗАДАНИЕ № 2

 

Проверим статистическую однородность ряда наблюдений. Возьмем, с этой целью, две выборки из ряда по 15 значений. Для каждой выборки определим значение средней величины и среднеквадратичного отклонения по следующим формулам:

 

а) для средней величины

 

где xср – значение средней величины температуры;

n – объем выборки;

xi – значения температуры.

 

б) для среднеквадратичного отклонения

 

где S2 – значение выборочной дисперсии;

S – значение среднеквадратичного отклонения;

n – объем выборки;

xср – значение средней величины температуры;

xi – значения температуры.

 

Обозначим через xn среднее значение для первой половины ряда и через xm – для второй половины. Получим:

 

xср n=9.25;

xср m=9.67.

 

Обозначим через Sn и Sm среднеквадратичные отклонения для первой и второй половины ряда соответственно. В результате подсчетов получим:

 

Sn=0.56;

Sm=0.64.

 

Найдем доверительные интервалы для математических ожиданий половин ряда (μn и μm) при условии, что t(0,95; 15)=2,15.

 

Левая граница доверительного интервала первой половины ряда:

 

xср.n-tγ*(S/√n)= 8.90

 

 

Левая граница доверительного интервала второй половины ряда:

 

xср.m-tγ*(S/√n) =9.32

 

Правая граница доверительного интервала первой половины ряда:

 

xср.n+tγ*(S/√n)= 9.60

 

Правая граница доверительного интервала второй половины ряда:

 

xср.m+tγ*(S/√n)=10.02

Выдвинем гипотезу, что μnm.

8.90< µn<9.60– для первой части ряда

9.32< µm< 10.02 – для второй части ряда

 

Так как доверительные интервалы перекрываются, то гипотезу о статистической однородности ряда нельзя отвергнуть. Ряд можно считать статистически однородным.

 

Проверим постоянство наблюдений. Предположим, что
(при условии, что при α=0,01 критическое значение критерия Фишера F(14;14)=3,70).

 

Найдем значение критерия Фишера:

 

F=S2m/S2n= F = 1.0

 

Выдвигается гипотеза, о том, что ряд является статистически однородным. Так как рассчитанное значение F<Fкр, то гипотезу о статистической однородности ряда также нельзя отвергнуть.

По результатам проверки постоянства математического ожидания и дисперсии можно заключить, что данный ряд является статистически однородным.

 

 

ЗАДАНИЕ № 3

 

Разобьем интервал, равный 0.50 °, на 6 градаций и найдем центр каждой градации, число частот попадания в каждую градацию и относительную частоту попадания в каждую из градаций (таблица 3).

 

Таблица 3

 

Номер градации N Центр градации Ti Число попадания в градацию mi Относительная частота ni
10,75 0,066
10,25 0,133
9,75 0,300
9,25 0,166
8,75 0,266
8,25 0,066

 

По данным таблицы построим гистограмму частот (рис. 2) и суммарную гистограмму частот (рис. 3).

 

 

Рисунок 2. Гистограмма частот

 

 

Рисунок 3. Суммарная гистограмма частот

 

 

Рисунок 4. Полигон частот

 

 

С использованием гистограммы частот рассчитаем

 

1) среднее значение Tср:

 

 

где Tср – среднее значение температуры;

Ti – центр градации;

ni – номер градации.

 

Tср = 9.38

 

2) среднеквадратичное отклонение D:

 

 

 

где D2 – значение дисперсии;

D – значение среднеквадратичного отклонения;

Tср – среднее значение температуры;

Ti – центр градации;

ni – номер градации.

D2 = 0.40

D = 0.63

 

3) вариацию С:

 

 

где С – значение вариации;

D – значение среднеквадратичного отклонения;

Tср – среднее значение температуры.

 

С = 0.08

 

4) асимметрию As:

 

 

 

где As – значение асимметрии;

М3 – значение третьего момента;

D – значение среднеквадратичного отклонения;

Ti – центр градации;

Tср – среднее значение температуры;

ni – номер градации.

М3 = -0.75

As = -2.88

 

5) эксцесс Ex:

 

 

 

где Ex – значение эксцесса;

М4 – значение четвертого момента;

D – значение среднеквадратичного отклонения;

Ti – центр градации;

Tср – среднее значение температуры;

ni – номер градации.

 

Ex =0.76

 

Зная значения асимметрии и эксцесса можно дать заключение о характере плотности вероятности ряда. Для данного распределения характерны следующие особенности. A<0, отрицательная асимметрия говорит о том, что кривая распределения скошена влево, мода расположена правее медианы. Ek>0, положительный эксцесс говорит о том, что вершина на кривой распределения расположена выше, чем у нормального распределения.

 

ЗАДАНИЕ № 4

 

Образуем новую случайную величину

 

 

где yi – новая случайная величина;

D – значение среднеквадратичного отклонения;

Ti – центр градации;

Tср – среднее значение температуры.

 

Величина yi должна иметь нормированное нормальное распределение φ(y), т.к. мы проверяем гипотезу о нормальности распределения.

 

 

По представленной выше формуле найдем значения φ(yi) и рассчитаем значение критерия χ2 Пирсона.

 

 

где χ2 – значение критерия Пирсона;

k – число градаций;

mi – число частот попадания в градацию;

n – объем выборки;

φ(y) – плотность вероятности.

 

χ2 = 11, 616

 

По условию,

.

 

Так как рассчитанное значение больше критического χ2> χ2кр, гипотезу о нормальности распределения можно отвергнуть.

 

 

ЗАДАНИЕ № 5

 

Рассчитаем значения средней температуры xср, среднеквадратичного отклонения S по полной выборке:

 

xср = 9,46

S2 = 0,34

 

Найдем доверительные интервалы для математического ожидания и среднеквадратичного отклонения по полной выборке при условии, что

t(0,95; 30) = 2,045 и q(0,95; 30) = 0,28.

 

Левая граница доверительного интервала для математического ожидания:

 

xcp-tγ(S/√n)= 9,24

 

Правая граница доверительного интервала для математического ожидания:

 

xcp+tγ(S/√n)= 9,67

Левая граница доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения:

 

S*(1-q) = 0,41

где q = q(γ, k)

 

Правая граница доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения:

 

S*(1+q) = 0,74

 

 

ЗАДАНИЕ № 6

 

Рассчитаем коэффициент линейной корреляции изменений среднегодовых температур в городах Штутгарт и Мюнхен.

 

 

где rx,y – коэффициент линейной корреляции;

xi – значения температуры в г.Штутгарт;

yi – значения температуры в г. Мюнхен;

xср – среднее значение температуры в г. Штутгарт;

yср – среднее значение температуры в г. Мюнхен.

 

rx,y = 0,910

 

Найдем погрешность рассчитанного коэффициента линейной корреляции по формуле

 

 

где σr – значение погрешности;

n – объем выборки;

rx,y – коэффициент линейной корреляции.

 

σr = 0,02

Конечный результат:

 

rx,y = 0.910±0.02

 

По данным таблиц 1 и 2 построим корреляционную диаграмму (рис. 5).

 

Рисунок 5. Корреляционная диаграмма

 

 

ЗАДАНИЯ № 7

 

Рассчитаем коэффициенты уравнения линейной регрессии значений ряда по следующим формулам:

 

 

где a, b – коэффициенты уравнения линейной регрессии;

n – объем выборки;

xi – года, обозначенные порядковыми номерами от 1 до 30;

yi – значения температуры в г. Штутгарт.

 

Обозначим через Δ знаменатель обеих дробей

 

 

Δ=67425

а = 0,01977

b = 9,156

 

.

Оценим погрешности полученных значений:

 

 

 

 

 

где

n – объем выборки;

a, b – коэффициенты уравнения линейной регрессии;

xi – года, обозначенные порядковыми номерами от 1 до 30;

yi – значения температуры в г.Штутгарт.

 

Δ=67425

σy2 = 0,377164

σa2 = 0,00017

σa = 0,0130384

0,01977±0,0130384

Нанесем линию регрессии на график изменения среднегодовой температуры (рис. 6).

 

 

Рисунок 6. График изменения среднегодовой температуры в г. Штутгарт с нанесенной на него линией регрессии

 

 

 

 
Для проверки однородности ряда введем гипотезу об отсутствии тренда. Гипотеза об отсутствии тренда означает, что а = 0. Если |а| отличается от 0 более чем на 2σ, то гипотеза отвергается, тренд есть. Так как, а =0,01977 не отличается от 0 более чем на 2σ =0,026077, значит, гипотезу об отсутствии тренда нельзя отвергнуть.

 

 





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.