ШЕЙЧЕНКО ЕВГЕНИЯ АЛЕКСАНДРОВИЧА
Министерство образования и науки Российской Федерации САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО
Кафедра метеорологии и климатологии
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МЕТЕОДАННЫХ
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
специальность 020602 – Метеорология
студента 3 курса географического факультета
ШЕЙЧЕНКО ЕВГЕНИЯ АЛЕКСАНДРОВИЧА
Саратов 2012
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Таблица 1. Среднегодовые температуры города Штутгарт
Таблица 2. Среднегодовые температуры города Мюнхен
ЗАДАНИЯ
1. Построить график изменения среднегодовой температуры в г.Штутгарт. Найти максимальное минимальное значение температуры, а также величину амплитуды. 2. Проверить статистическую однородность ряда, разделив его на две половины, с использованием сравнения 95% доверительных интервалов для математических ожиданий и критерия Фишера при уровне значимости α=0,01. 3. Построить гистограмму частот, используя k=6 градаций. Построить суммарную гистограмму частот. С использованием гистограммы частот рассчитать среднее значение Tср, среднеквадратичное отклонение D, вариацию С, асимметрию и эксцесс. Дать заключение о характере плотности вероятности ряда. 4. Проверить гипотезу о нормальности распределения с использованием критерия χ2 Пирсона для уровня значимости α=0,05. 5. Получить точечные оценки математического ожидания и среднеквадратичного отклонения по полной выборке и их среднеквадратичные отклонения, а также 95% доверительные интервалы для математического ожидания и среднеквадратичного отклонения по полной выборке. 6. Построить корреляционную диаграмму и рассчитать коэффициент линейной корреляции изменений среднегодовых температур в г. Штутгарт и г.Мюнхен. Оценить погрешность найденного коэффициента линейной корреляции. 7. Рассчитать коэффициенты уравнения линейной регрессии значений ряда по времени и оценить их погрешности. Проверить гипотезу о наличии линейного тренда в изменениях среднегодовых температур. Нанести линию регрессии на график изменения среднегодовой температуры.
ЗАДАНИЕ № 1
Максимальное значение температуры составляет 10,8°С. Минимальное значение температуры составляет 8,2°С. Амплитуда равна 2,6° С.
Рисунок 1. График изменения среднегодовой температуры в г. Штутгарт
ЗАДАНИЕ № 2
Проверим статистическую однородность ряда наблюдений. Возьмем, с этой целью, две выборки из ряда по 15 значений. Для каждой выборки определим значение средней величины и среднеквадратичного отклонения по следующим формулам:
а) для средней величины
где xср – значение средней величины температуры; n – объем выборки; xi – значения температуры.
б) для среднеквадратичного отклонения
где S2 – значение выборочной дисперсии; S – значение среднеквадратичного отклонения; n – объем выборки; xср – значение средней величины температуры; xi – значения температуры.
Обозначим через xn среднее значение для первой половины ряда и через xm – для второй половины. Получим:
xср n=9.25; xср m=9.67.
Обозначим через Sn и Sm среднеквадратичные отклонения для первой и второй половины ряда соответственно. В результате подсчетов получим:
Sn=0.56; Sm=0.64.
Найдем доверительные интервалы для математических ожиданий половин ряда (μn и μm) при условии, что t(0,95; 15)=2,15.
Левая граница доверительного интервала первой половины ряда:
xср.n-tγ*(S/√n)= 8.90
Левая граница доверительного интервала второй половины ряда:
xср.m-tγ*(S/√n) =9.32
Правая граница доверительного интервала первой половины ряда:
xср.n+tγ*(S/√n)= 9.60
Правая граница доверительного интервала второй половины ряда:
xср.m+tγ*(S/√n)=10.02 Выдвинем гипотезу, что μn=μm. 8.90< µn<9.60– для первой части ряда 9.32< µm< 10.02 – для второй части ряда
Так как доверительные интервалы перекрываются, то гипотезу о статистической однородности ряда нельзя отвергнуть. Ряд можно считать статистически однородным.
Проверим постоянство наблюдений. Предположим, что
Найдем значение критерия Фишера:
F=S2m/S2n= F = 1.0
Выдвигается гипотеза, о том, что ряд является статистически однородным. Так как рассчитанное значение F<Fкр, то гипотезу о статистической однородности ряда также нельзя отвергнуть. По результатам проверки постоянства математического ожидания и дисперсии можно заключить, что данный ряд является статистически однородным.
ЗАДАНИЕ № 3
Разобьем интервал, равный 0.50 °, на 6 градаций и найдем центр каждой градации, число частот попадания в каждую градацию и относительную частоту попадания в каждую из градаций (таблица 3).
Таблица 3
По данным таблицы построим гистограмму частот (рис. 2) и суммарную гистограмму частот (рис. 3).
Рисунок 2. Гистограмма частот
Рисунок 3. Суммарная гистограмма частот
Рисунок 4. Полигон частот
С использованием гистограммы частот рассчитаем
1) среднее значение Tср:
где Tср – среднее значение температуры; Ti – центр градации; ni – номер градации.
Tср = 9.38
2) среднеквадратичное отклонение D:
где D2 – значение дисперсии; D – значение среднеквадратичного отклонения; Tср – среднее значение температуры; Ti – центр градации; ni – номер градации. D2 = 0.40 D = 0.63
3) вариацию С:
где С – значение вариации; D – значение среднеквадратичного отклонения; Tср – среднее значение температуры.
С = 0.08
4) асимметрию As:
где As – значение асимметрии; М3 – значение третьего момента; D – значение среднеквадратичного отклонения; Ti – центр градации; Tср – среднее значение температуры; ni – номер градации. М3 = -0.75 As = -2.88
5) эксцесс Ex:
где Ex – значение эксцесса; М4 – значение четвертого момента; D – значение среднеквадратичного отклонения; Ti – центр градации; Tср – среднее значение температуры; ni – номер градации.
Ex =0.76
Зная значения асимметрии и эксцесса можно дать заключение о характере плотности вероятности ряда. Для данного распределения характерны следующие особенности. A<0, отрицательная асимметрия говорит о том, что кривая распределения скошена влево, мода расположена правее медианы. Ek>0, положительный эксцесс говорит о том, что вершина на кривой распределения расположена выше, чем у нормального распределения.
ЗАДАНИЕ № 4
Образуем новую случайную величину
где yi – новая случайная величина; D – значение среднеквадратичного отклонения; Ti – центр градации; Tср – среднее значение температуры.
Величина yi должна иметь нормированное нормальное распределение φ(y), т.к. мы проверяем гипотезу о нормальности распределения.
По представленной выше формуле найдем значения φ(yi) и рассчитаем значение критерия χ2 Пирсона.
где χ2 – значение критерия Пирсона; k – число градаций; mi – число частот попадания в градацию; n – объем выборки; φ(y) – плотность вероятности.
χ2 = 11, 616
По условию, .
Так как рассчитанное значение больше критического χ2> χ2кр, гипотезу о нормальности распределения можно отвергнуть.
ЗАДАНИЕ № 5
Рассчитаем значения средней температуры xср, среднеквадратичного отклонения S по полной выборке:
xср = 9,46 S2 = 0,34
Найдем доверительные интервалы для математического ожидания и среднеквадратичного отклонения по полной выборке при условии, что t(0,95; 30) = 2,045 и q(0,95; 30) = 0,28.
Левая граница доверительного интервала для математического ожидания:
xcp-tγ(S/√n)= 9,24
Правая граница доверительного интервала для математического ожидания:
xcp+tγ(S/√n)= 9,67 Левая граница доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения:
S*(1-q) = 0,41 где q = q(γ, k)
Правая граница доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения:
S*(1+q) = 0,74
ЗАДАНИЕ № 6
Рассчитаем коэффициент линейной корреляции изменений среднегодовых температур в городах Штутгарт и Мюнхен.
где rx,y – коэффициент линейной корреляции; xi – значения температуры в г.Штутгарт; yi – значения температуры в г. Мюнхен; xср – среднее значение температуры в г. Штутгарт; yср – среднее значение температуры в г. Мюнхен.
rx,y = 0,910
Найдем погрешность рассчитанного коэффициента линейной корреляции по формуле
где σr – значение погрешности; n – объем выборки; rx,y – коэффициент линейной корреляции.
σr = 0,02 Конечный результат:
rx,y = 0.910±0.02
По данным таблиц 1 и 2 построим корреляционную диаграмму (рис. 5).
Рисунок 5. Корреляционная диаграмма
ЗАДАНИЯ № 7
Рассчитаем коэффициенты уравнения линейной регрессии значений ряда по следующим формулам:
где a, b – коэффициенты уравнения линейной регрессии; n – объем выборки; xi – года, обозначенные порядковыми номерами от 1 до 30; yi – значения температуры в г. Штутгарт.
Обозначим через Δ знаменатель обеих дробей
Δ=67425 а = 0,01977 b = 9,156
. Оценим погрешности полученных значений:
где n – объем выборки; a, b – коэффициенты уравнения линейной регрессии; xi – года, обозначенные порядковыми номерами от 1 до 30; yi – значения температуры в г.Штутгарт.
Δ=67425 σy2 = 0,377164 σa2 = 0,00017 σa = 0,0130384 0,01977±0,0130384 Нанесем линию регрессии на график изменения среднегодовой температуры (рис. 6).
Рисунок 6. График изменения среднегодовой температуры в г. Штутгарт с нанесенной на него линией регрессии
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|