Главная | Обратная связь

Методы аналитического выравнивания динамических рядов

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики, т. е. выравнивание с помощью аналитических формул.

Основным содержанием метода является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

y`_t = f(t),

где y`_t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Фактическими (или эмпирическими) уровнями ряда динамики называют исходные данные об изменении явления, т. е. данные, полученные опытным путем, посредством наблюдения. Они обозначаются у_i.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

· линейная функция y`_t = a₀ + a₁t;

· показательная функция y`_t = a₀*a₁^t;

· полиномиальная – кривая второго порядка (парабола)
y`_t = a₀ + a₁t + a₂t² ;

· экспоненциальная y`<sub>t</sub> = exp(a<sub>0</sub> + a<sub>1</sub>t)
или y`_t = exp(a₀ + a₁t + a₂t²).

1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

2) Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития.

3) Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянный относительный рост - устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста[5;202].

Таким образом, целью аналитического выравнивания является:

- определение вида функционального уравнения;

- нахождения параметров уравнения;

- расчет “теоретических”, выровненных уровней, отображающих основную тенденцию ряда динамики.

Оценка параметров (a₀, a₁, a₂, ...) осуществляется следующими методами:
1) методом избранных точек,
2) методом наименьших расстояний,
3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных:

min ∑ (y`_t – y_i)²

Параметры уравнения а_i, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе найденного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни.

Для линейной зависимости (y`_t = a₀ + a₁t) параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а₁ можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Нормальные уравнения МНК имеют вид:

· для линейного тренда:

·
для параболы второго порядка:

где y_i- уровни исходного ряда динамики;
- номера периодов или моментов времени (1,2,3,..n);

n - число уровней ряда;

а₀, а₁, а₂ - константы уравнений.

Для решения систем уравнений обычно применяется способ определителей или способ отсчета от условного начала.

Для упрощения расчетов удобнее воспользоваться способом отсчета от условного начала. При этом сумма показателей времени изучаемого ряда динамики должна быть равна нулю:

При нечетном числе уровней ряда динамики уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1, -2, -3 и т.д.), а ниже - натуральными числами со знаком плюс (+1, +2, +3 и т.д.).

Если число уровней динамического ряда четное, периоды времени верхней половины ряда (до середины) нумеруются -1, -2, -3 и т.д., а нижней - +1, +2, +3 и т.д.. При этом условие сумма показателей времени будет равна нулю и системы нормальных уравнений преобразуются следующим образом:

·
для линейного тренда:

·
для параболы второго порядка:

По вычисленным параметрам производятся синтезирование трендовой модели функции, то есть полученных значений а₀, а₁,а_{2 ,} и их подстановка в искомое уравнение.

Правильность расчетов аналитических уровней можно проверить по следующему условию - сумма значений эмпирического ряда должна совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного ряда. При этом может возникнуть небольшая погрешность в расчетах из-за округлений вычисляемых величин.

Часто для уравнения тренда подходят одновременно несколько функций. Отбор наилучшей функции производится по величине остаточной дисперсии (отклонения теоретических уровней от эмпирических), которая вычисляется по формуле:

где y`_t- теоретические уровни;

y_i - экспериментальные уровни;

n - число уровней ряда.

За наиболее адекватную принимается та функция (модель), у которой минимальная.

Графическое отображение изменения уровней ряда играет большую роль в применении данного вида выравнивания. Оно позволяет ускорить процедуру анализа и увеличить степень наглядности полученных результатов